Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

Annexe D
Singularités des contours, formules de Green
Les calculs détaillés dans l’annexe C et menant à l’équation 5.15 utilisent des formules de transformation
d’intégrales de surfaces en intégrales de contour. Comme indiqué en figure D.1, un contour
peut posséder une ou plusieurs discontinuités au niveau de sa normale. La question de ces singularités
se pose : la première identité de Green est-elle valable dans le cas d’un contour σ présentant des
discontinuités de sa normale ?
On rappelle ici la première identité de Green [CM 88] :
∫
∫
∫
(u, x v, x +u, y v, y )dxdy = − (u∆v)dxdy +
S
S
σ
uv, n d → s
(D.1)
où u et v sont des fonctions quelconques de x et de y. Les opérations mathématiques suivantes, ont
pour but de prouver que les identités de Green peuvent être utilisées quelle que soit la forme de la
surface d’intégration.
On considère une surface fermée S, quelconque, traversée par une droite parallèle à l’axe des → x. Le
point d’entrée de cette droite dans S est x 0 (y) et son point de sortie x 1 (y). Avec y compris entre y min
et y max . La figure D.2 illustre cette situation.
Si on intègre la dérivée selon x d’une fonction f(x, y) le long de cette droite d’ordonnée y, on obtient :
∫ x1
f ,x (x, y)dx = f(x 1 (y), y) − f(x 0 (y), y)
(D.2)
x 0
Il suffit ensuite d’intégrer sur y, de y min à y max afin d’obtenir :
soit :
∫ ymax
∫ x1
y min
∫ ymax
∫ x1
y min
x 0
f ,x (x, y)dxdy =
x 0
f ,x (x, y)dxdy =
∫ ymax
y min
(f(x 1 (y), y) − f(x 0 (y), y))dy (D.3)
∫ ymax
∫ ymin
f(x 1 (y), y)dy + f(x 0 (y), y)dy (D.4)
y min y max
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