Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE
L’approche déterministe, plus répandue, est utilisée dans la plupart des travaux récensés dans la littérature.
Elle est basée sur la minimisation d’une fonctionnelle d’écart entre les quantités mesurées
et les quantités calculées à l’aide du problème direct. L’ouvrage de Tikhonov [TA 76] aborde le problème
de façon déterministe et introduit la notion d’opérateur régularisant permettant de calculer
une solution approchée (quasi solution) et rendant le problème stable. Cette oprération est appellée
"régularisation", elle est nécessaire dans un grand nombre de problème inverse.
Instabilité du problème et techniques de régularisation
L’inversion de la matrice de transfert
L’équation 3 nous donne une formulation directe du problème.
X i (ω) = H ij (ω)F j (ω) (3)
Afin de reconstruire les efforts, la solution qui vient en premier lieu est de calculer :
{F(ω)} n = ([H(ω)] mn ) −1 {X(ω)} m (4)
où ([H(ω)] mn ) −1 est l’inverse de la matrice de transfert.
Cette méthode requiert l’égalité du nombre d’efforts recherchés et du nombre de réponses mesurées.
Cependant, afin de stabiliser le problème, il est intéressant de surdimensionner la quantité d’informations
introduite. Ainsi le nombre de point de mesure étant supérieur au nombre d’efforts recherchés,
la matrice de transfert [H(ω)] mn sera rectangulaire et le système à résoudre de la forme :
{F(ω)} n = [H(ω)] + mn{X(ω)} m (5)
avec m > n et où [H(ω)] + mn est la pseudo-inverse de la matrice de transfert. Cette solution {F(ω)} n
est appellée solution au sens des moindres carrés, car ce n’est pas une solution exacte sur le plan
mathématique. En effet si on ré-injecte les {F(ω)} n calculés, dans l’équation 3 le vecteur {X(ω)} m
obtenu a posteriori n’est pas strictement égal au vecteur {X(ω)} m introduit initialement dans 5. Une
solution au sens des moindres carrés implique donc une reformulation mathématique du problème
initial qui peut être formulé de la sorte :
Déterminer {F(ω)} n à partir de {X(ω)} m et de [H(ω)] mn
satisfaisant la relation {X(ω)} m = [H(ω)] mn {F(ω)} n
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