Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 2. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
⎧
w 1 (0) = 0 EI ∂3 w 2
∂x 3 (L) = 0
⎪⎨
∂w 1
∂x (0) = 0 EI ∂2 w 2
∂x 2 (L) = 0
w 1 (X f ) = w 2 (X f )
∂w 1
∂x (X f) = ∂w 2
∂x (X f)
(2.7)
EI ∂2 w 1
∂x 2 (X f ) = EI ∂2 w 2
∂x 2 (X f )
⎪⎩
EI ∂3 w 2
∂x 3 (X f ) − EI ∂3 w 1
∂x 3 (X f ) = F
Une fois les déplacements calculés, un Niveau d’Erreur de Reconstruction du Moment Fléchissant
(NERMF) ǫ M est défini (Eq. 2.8) afin d’établir le domaine de validité de la méthode. Ses valeurs sont
présentées Fig 2.6 pour les 2 types d’intégrations numériques précédemment présentés.
∣ M(0) ∣∣∣∣
ǫ M = 10 ∗ log
∣EI ∂2 w
(0) (2.8)
∂ 2 x
où M(0) est le moment fléchissant reconstruit en x = 0.
La reconstruction du moment fléchissant présente un comportement similaire à celle de l’effort tranchant.
L’erreur est même légèrement plus faible que celle observée pour l’effort tranchant dans des
conditions similaires de calcul.
En effet, l’effort tranchant dépend directement de la dérivée troisième du déplacement, contrairement
au moment fléchissant qui dépend de la dérivée seconde(cf 1.2). En pratique les intégrales 1.12 et 1.16
permettant l’estimation des ces quantités, doivent être discrétisées. Il apparait alors que l’intégrale
discrétisée 1.16 permets une meilleure approximation du moment fléchissant que 1.12 pour l’effort
tranchant. Même si ces dérivées ne sont pas calculées directement, on retrouve une sensibilité plus
importante lorsque l’on recherche une valeur proportionnelle à une dérivée d’ordre supérieure.
De plus, on constate plus nettement l’apparition d’oscillations du niveau d’erreur pour la reconsrtuction
utilisant une intégration trapézoïdale. Ces oscillations ont une période de un NODI, elles sont
caractéristiques de l’approximation d’intégrale de courbes sinusoïdales par la méthode des trapèzes.
Leurs amplitudes et leurs origines varient d’une reconstruction à l’autre, dépendant de la forme de la
courbe à intégrer (donc des conditions aux limites de la poutre) ainsi que de la fonction test utilisée
qui modifie également la courbe considérée.
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