Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

ANNEXE A. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’ÉQUATION INTÉGRALE GÉNÉRALE DU CAS DES
POUTRES EN FLEXION
L’intégration par partie dont la formule est rappelé en A.4, permet de faire diminuer l’ordre de dérivation
d’une fonction dans une intégrale.
∫
∫
uv ′ = [uv] − u ′ v
(A.4)
où u et v sont deux fonctions quelconques dérivables sur l’intervalle considéré. u ′ et v ′ sont les dérivées
respectives de u et v. On constate bien, dans cette formulation, que la fonction v voit son ordre
de dérivation chuter entre le terme de droite et le terme de gauche de cette équation. C’est cet aspect
de l’intégration par partie qui est exploité par la suite pour faire disparaitre les dérivées spatiales du
déplacement présentes dans l’équation A.1.
Afin de faciliter la compréhension des calculs, l’intégrale qui sera traitée est isolée dans la partie
gauche de l’équation A.3, qui devient :
∫ b
∫ b
η(x)[EI ∂4 w(x)
]dx = η(x)w(x)ρSω 2 dx + η(x)F(x)dx (A.5)
a ∂x 4 a
a
On remarque que la partie droite de l’équation ne contient plus que des termes connus (η), mesurable
(w) ou nul (F dans le cas où il n’y aurait pas d’effort directement appliqué dans le domaine
d’intégration). Après une intégration par partie sur le terme de gauche, on obtient :
∫
[EI ∂3 w
b
∫
∂η
∂x 3 (x)η(x)]b a −
a ∂x (x)[EI ∂3 w
b
∂x (x)]dx = 3 a
∫ b
η(x)w(x)ρSω 2 +
∫ b
a
η(x)F(x)dx
(A.6)
On conserve dans cette annexe le terme d’effort extérieur F afin d’obtenir une forme générale de
l’équation intégrale. On reconnait dans le terme de gauche, l’effort tranchant dont la forme est rappelé
en A.2. En developpant on obtient :
∫
EI ∂3 w
∂x (b)η(b)−EI ∂3 w
b
3 ∂x (a)η(a)− ∂η
3 a ∂x (x)[EI ∂3 w
soit, en identifiant l’effort tranchant en b et en a :
T(b)η(b) − T(a)η(a) −
∫ b
a
∫ b
∂x (x)]dx = 3 a
∂η
∂x (x)[EI ∂3 ∫
w
b
∂x (x)]dx = 3 a
∫ b
η(x)w(x)ρSω 2 + η(x)F(x)dx
a
(A.7)
η(x)w(x)ρSω 2 +
∫ b
a
η(x)F(x)dx (A.8)
Afin de continuer à faire chuter l’ordre de dérivation du déplacement contenu dans l’intégrale restante
de la partie gauche, d’autre intégrations par parties sont effectuées :
T(b)η(b) − T(a)η(a) − EI ∂2 w
∂x (b)∂η 2 ∂x (b) + EI ∂2 ∫
w
b
∂x (a)∂η 2 ∂x (a) + a
=
∫ b
a
η(x)w(x)ρSω 2 +
∂ 2 η ∂2 w
∂x 2(x)[EI ∂x (x)]dx 2
∫ b
a
η(x)F(x)dx (A.9)
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