Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 2. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
⎧
w 1 (0) = 0 w 2 (L) = 0
⎪⎨
EI ∂2 w 1
∂x 2 (0) = 0 EI ∂2 w 2
∂x 2 (L) = 0
w 1 (X f ) = w 2 (X f )
∂w 1
∂x (X f) = ∂w 2
∂x (X f)
(2.5)
EI ∂2 w 1
∂x 2 (X f ) = EI ∂2 w 2
∂x 2 (X f )
⎪⎩
EI ∂3 w 2
∂x 3 (X f ) − EI ∂3 w 1
∂x 3 (X f ) = F
La résolution du système linéaire qui découle des équations 2.5 et 2.3 permet le calcul analytique de
l’équation de mouvement de la structure. Ainsi une valeur analytique exacte de l’effort tranchant peut
être calculée à l’extrémité de la poutre en utilisant l’équation 1.2. Cette valeur servira de référence afin
de calculer l’erreur sur la reconstruction qui sera quantifiée par un Niveau d’Erreur de Reconstruction
de l’Effort Tranchant (NERET) ǫ T défini par :
T(0)
ǫ T = 10 ∗ log
(2.6)
∣EI ∂3 w(0)
∣
∂x 3
où T(0) est l’effort tranchant reconstruit au point x = 0, obtenu par le calcul de l’intégrale discrétisée
1.12. Cet indicateur compare donc une valeur analytique qui sert de référence, avec l’effort tranchant
obtenu par reconstruction. L’utilisation de l’échelle logarithmique permet d’obtenir des résultats en
dB.
La figure 2.3 montre le NERET ǫ T en fonction du Nombre d’Onde dans le Domaine d’Intégration
(NODI) [0,b] pour les 2 types d’intégrales discrétisées. Pour faire varier le NODI, il a été choisi de
faire varier la longueur du domaine d’intégration pour une même fréquence d’excitation. Le nombre
de points est gardé fixe donc l’espacement entre les points est d’autant plus grand que la longueur
d’intégration est grande.
Pour chaque type d’intégrale, 3 courbes sont tracées, pour respectivement 10, 14 et 20 points utilisés
pour calculer l’intégrale. Une comparaison entre ces différentes courbes montre que l’utilisation d’un
grand nombre de point améliore considérablement la précision de la reconstruction.
L’analyse des graphiques 2.3 amène plusieurs constatations, sur l’influence de la fréquence d’excitation,
sur la comparaison entre les méthodes d’intégration, puis sur l’influence du nombre de points.
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