Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
EI ∂3 w
∂x 3 (x) = F t1 (w)
EI ∂2 w(x) = M
∂x 2 f1 (w)
EI ∂3 w
(x) = F
∂x 3 t2 (w)
EI ∂2 w
∂x 2 (x) = M f2 (w)
pour x = a
pour x = b
Les quantités décrites pas les termes F t1 (w), M f1 (w), F t2 (w) et M f2 (w) représentent les efforts appliqués
à la poutre aux points x = a et x = b. Ils sont nuls si ces points sont les extrémités libres
d’une poutre. Ils représentent l’effort tranchant ou le moment dû aux efforts internes si la poutre ne
se restreint pas au domaine étudié, etc...
(1.4)
(1.5)
Les équations 1.3, 1.4 et 1.5 fournissent la base de notre problème, dans la méthode RIFF (cf.[PEZ 96]),
l’inconnue recherchée est F(x), distribution de force excitatrice dans le domaine ]a, b[. Il est important
de souligner que notre objectif n’est pas de la calculer, elle sera supposée connue ou nulle, mais
d’identifier l’effort tranchant et le moment fléchissant aux limites d’un domaine d’étude, c’est à dire
les quantités décrites par les équations 1.4 et 1.5. Les limites du domaine d’étude pouvant coïncider
avec les limites de la structure, nous pourrons reconstruire T et M aux extrémitées physiques de la
poutre. Remarquons que dans le cas où l’effort F s’appliquerait à une extrémité libre de la poutre,
alors le calcul de T équivaudrait au calcul de F , cet aspect sera d’ailleurs utilisé lors de la validation
expérimentale de l’approche.
En regardant les équations 1.2, 1.4 ou 1.5, on pourrait imaginer une méthode de calcul basée, comme
dans la méthode RIFF, sur l’estimation des dérivées spatiales avec des techniques de type "différences
finies". La méthode proposée par la suite est différente pour plusieurs raisons. Il est bien connu que
l’estimation des dérivées spatiales aux extrémités présente de grandes difficultés. Effectivement, les
méthodes classiques utilisent des schémas dits "centrés", où le point de calcul doit être encadré de
plusieurs points de mesures, ce qui est impossible aux extrémités. Il existe aussi des schémas décentrés
qui permettent une estimation des dérivées aux limites, malheureusemnt ces derniers présentent
l’inconvénient de ne pas aussi bien converger que les schémas centrés. De plus ce type d’estimation
présente une très grande sensibilité au bruit. Afin de palier ce problème, une étape de régularisation
est généralement nécessaire. La méthode présentée ici permet d’éviter cette difficulté.
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