Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

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Chapitre 5 Reconstruction de l’effort tranchant et du moment fléchissant : Cas d’une plaque en flexion 5.1 Objectifs du chapitre Nous proposons dans ce chapitre, une extension aux plaques de la méthode précédemment décrite. Il sera indispensable de reprendre toute la base de la formulation intégrale qui caractérise l’approche. Si dans l’esprit la méthode ne change pas, les calculs d’intégrales à deux dimensions sont assez lourds et les expressions des efforts sont bien plus complexes, ils utilisent des dérivées spatiales croisées qui compliquent considérablement l’approche mathématique. Il est apparu préférable de revenir aux sources variationnelles de la mise en équation (cf [GUY 02]). Après avoir présenté les quantités recherchées et défini la fonctionnelle utilisée, les différentes étapes mathématiques permettant l’extraction des efforts à la limite sont décrites. Les effets liés aux incertitudes de mesure font l’objet du chapitre suivant. 90
CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION 5.2 Equations de base du problème 5.2.1 Effort tranchant et moment fléchissant Comme dans le premier chapitre, les deux quantités qui caractérisent les efforts à la limite d’une plaque vibrant en flexion sont l’effort tranchant et le moment fléchissant. Ils dépendent également de dérivées spatiales du déplacement, mais leurs expressions sont plus compliquées. On constate effectivement l’apparition de dérivées croisées. L’orientation de la limite est prise en compte par l’intermédiaire des vecteurs normaux et tangentiels. Les efforts tranchants et moments fléchissants sur le contour σ sont donnés par (cf [GUY 02]) : ⎧ [ T(w) = D ⎪⎨ ∂ 2n1 n ∂s 2 (1 − ν) ( ) ∂ 2 w − ∂2 w ∂x 2 1 ∂x + 2(1 − ν)(n 2 2 2 2 − n 2 1 ) ] ∂2 w ∂x 1 ∂x 2 + ∂ [M] ∂n ⎪⎩ M(w) = −D [( ) ∂ 2 w + ν ∂2 w ∂x 2 1 ∂x n 2 2 2 1 + 2(1 − ν) ∂2 w ∂x 1 ∂x 2 n 1 n 2 + ( (5.1) ) ] ν ∂2 w + ∂2 w ∂x 2 1 ∂x n 2 2 2 2 où w est le déplacement transversal, ν est le coefficient de poisson, D = Eh 3 /(12(1 − ν 2 )) est la rigidité de flexion et n 1 et n 2 sont les coefficients directeurs du vecteur normal → n et → s est le vecteur tangentiel. FIG. 5.1 – Représentation des vecteurs unitaires en un point du contour σ. → n normale extérieure à S, → s tangente à σ. 5.2.2 Modèle de plaque Il est important de préciser que le modèle de plaque utilisé pour décire le champ de déplacement est celui défini par Love-Kirchoff (cf. [GUY 02]). Dans ce modèle, le déplacement est décrit par une 91
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REMERCIEMENTS 4
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TABLE DES MATIÈRES 1.6 Application
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TABLE DES MATIÈRES Conclusion Gén
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TABLE DES FIGURES 6.26 Reconstructi
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Introduction et contexte scientifiq
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CONCLUSION GÉNÉRALE Des fonctions
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Annexe A Calcul détaillé de l’
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ANNEXE A. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’
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ANNEXE B. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 1
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ANNEXE B. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 1
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ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’
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Annexe D Singularités des contours
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Annexe E Compléments sur les fonct
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ANNEXE E. COMPLÉMENTS SUR LES FONC
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Annexe F Liste des communications s
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BIBLIOGRAPHIE [DS 85] DESANGHERE G.
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BIBLIOGRAPHIE [MOO 03] [MSW 94] MOO
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BIBLIOGRAPHIE [TA 76] [TAR 87] TIKH
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FOLIO ADMINISTRATIF THESE SOUTENUE
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