Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE
Il arrive souvent que cette notion de problème inverse rejoigne le concept du problème mal posé,
introduit par Hadamard [HAD 02] au début du siècle. Un problème sera dit mal posé s’il ne vérifie
pas les conditions suivantes :
1. La solution du problème existe,
2. La solution est unique,
3. La solution est stable.
Si ces trois aspects sont respectés, le problème est dit "bien posé". Les deux premières conditions
sont booléennes au sens mathématique du terme, c’est à dire soient vraies ou soient fausses. En revanche
pour la plupart des méthodes inverses, la stabilité n’est pas assurée. Dans le cas des problèmes
directs, généralement bien posés, on évalue les effets à partir de causes connues. Mathématiquement
cela revient à intégrer les données d’entrées. Cette intégration aura pour effet de lisser la solution, la
rendant ainsi stable. Le problème inverse équivaut donc à un processus de différentiation, beaucoup
plus complexe à résoudre (cf. Stevens [STE 87]), et fortement instable, en effet une petite variation
des données d’entrées entraîne de grande variation de la solution. Malgré ce handicap les méthodes
inverses furent développées dans de nombreux travaux. Il est toutefois important de souligner que
tous les problèmes inverses ne sont pas mal posés et que tous les problèmes mal posés ne sont pas
inverses. Le lecteur trouvera une bibliographie de la littérature consacrée à ce domaine ci dessous.
Parmi tous les formalismes, on peut retenir deux grande tendances : le principe probabiliste et le
principe déterministe. Malgré leur différence de forme, ces deux principes cherchent à pallier les
problèmes d’instabilité de l’inversion en régularisant le problème par une information a priori sur le
résultat.
L’approche probabiliste des problèmes inverses dévellopée par Tarantola et Arsenine [TAR 87] a pour
fondement le caractère aléatoire des erreurs qui affectent les données. Elle se propose de quantifier
toute l’information que l’on possède sur une variable (donnée ou inconnue) par une fonction densité
de probabilité. La solution du problème sera alors composée elle même d’une densité de probabilité.
En vibroacoustique, peu de travaux abordent le problème inverse de façon probabiliste, on peut tout
de même citer le travail de Bonnet [BON 91] sur le rayonnement acoustique des structures.
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