Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE
La formulation au sens des moindres carrés est exprimée par :
Déterminer {F(ω)} n à partir de {X(ω)} m et de [H(ω)] mn
en minimisant la quantité ‖{X(ω)} m − [H(ω)] mn {F(ω)} n ‖
L’appellation moindres carrés vient du fait que l’on cherche à minimiser la norme Euclidienne de
cette différence.
Cette notion des moindres carrés est très importante et de nombreux ouvrages en traitent (cf.[LH 74]).
Gladwell [GLA 04] fait remarquer qu’en ingéniérie, l’approche quasi-universelle des problèmes inverses
est au travers des moindres carrés, c’est à dire : trouver un système qui minimise la distance
entre la réponse mesurée et la réponse désirée.
Les erreurs entachant la reconstruction des efforts sont influencées par deux principaux facteurs :
l’erreur sur les fonctions de transfert mesurées, et le mauvais conditionnement de la matrice de transfert.
Rappelons que le conditionnement de la matrice [H(ω)] mn représente le degré d’indépendance
linéaire des déformées de la structure dues aux excitations. Cette notion peut être quantifiée par le
nombre de conditionnement de [H(ω)] mn qui est le rapport entre la plus grande et la plus petite de ses
valeurs singulières.
Cette sensibilité du problème a été largement étudiée. Thite [TT 03], Starkey [SM 89] et Blau [BLA 97]
analysent dans leurs travaux, l’influence de chacune de ces sources d’erreur à partir de différentes
techniques d’identification. Les derniers travaux de Blau approfondissent l’analyse statistique des
erreurs de mesures dans les techniques de mesures indirectes d’efforts (cf.[BLA 99] et [BLA 99]).
Optimisation de l’inversion
Afin d’améliorer l’inversion de la matrice de transfert, Mas et al. [MSW 94] proposent une technique
qui se base sur la pondération des moindres carrés. Le fait de pondérer les termes du vecteur déjà
minimisé permet d’ajuster l’importance accordée à chaque ligne du système. Cette méthode a été
développée et analysée, notamment par Leclere et al. (cf.[LPLP 04]) qui proposent une comparaison
entre pondération des moindres carrés et pondération des moindres carrés totaux. Cette comparaison
est également faite par Liu (cf. [LS 05]) qui complète ces méthodes en y ajoutant une étape de régularisation.
Guillaume et al. [GPDS 02] affinent cette technique de pondération afin de quantifier le
nombre d’efforts injectés dans la structure étudiée.
Une autre approche, initiée par Desanghere [DS 85], consiste à passer en base modale afin de faciliter
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