Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
1.3 Approche générale
L’idée est de faire apparaître et d’extraire l’une des quantités recherchées (Effort tranchant noté T(x)
ou moment fléchissant noté M(x)) à partir de l’équation de mouvement 1.3. Pour cela nous considérons
une formulation faible (Eq.1.6) de celle-ci en la multipliant par une fonction arbitraire η(x) et
en intégrant l’ensemble sur l’intervalle [a, b]. Il est nécessaire que la fonction η(x) ait des dérivées
continues jusqu’au quatrième ordre, nous verrons pourquoi ultérieurement.
∫ b
η(x)[EI ∂4 w(x)
− ρSω 2 w(x)]dx = η(x)F(x)dx (1.6)
a ∂x 4 a
L’intégration par partie du premier terme de cette équation donne :
∫ b
∫ b
a
∫
η(x)[EI ∂4 w(x)
]dx = EI ∂3 w
∂x 4 ∂x (b)η(b) − EI ∂3 w
b
3 ∂x (a)η(a) + 3 a
−EI ∂3 w
∂x (x)∂η (x) (1.7)
3 ∂x
L’équation 1.6 devient ainsi :
EI ∂3 w
∂x 3 (b)η(b) − EI ∂3 w
∫ b
∂x (a)η(a) + 3 a
[−EI ∂3 w
∂x 3 (x)∂η
∂x (x) − η(x)ρSω2 w(x)]dx (1.8)
=
∫ b
a
η(x)F(x)dx
On voit apparaître les termes EI ∂3 w
∂x 3 (b) et EI ∂3 w
∂x 3 (b) égaux aux efforts tranchants aux abscisses a
et b. Dans la même l’optique, d’autres intégrations par parties peuvent être réalisées pour arriver au
résultat suivant (le calcul détaillé est présenté dans l’annexe A) :
T(b)η(b) − T(a)η(a) − M(b) ∂η (b) + M(a)∂η
∂x ∂x (a)
+EI ∂w η ∂w η
∂x (b)∂2 ∂x2(b) − EI
∂x (a)∂2 ∂x 2(a) − η
EIw(b)∂3 ∂x 3(b) + η
EIw(a)∂3 ∂x 3(a)
∫ b
= w(x)[ρSω 2 η(x) − EI ∂4 ∫
η
b
a
∂x 4(x)]dx + η(x)F(x)dx (1.9)
a
Dans l’équation 1.9, les expressions de l’effort tranchant et du moment fléchissant en a et b apparaissent.
On peut constater dans cette équation que l’effort tranchant et le moment fléchissant ne sont
36