Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
-dans le cas du moment fléchissant :
∆
⎡
⎢
⎣
1 ∂η M
2 ∂x
(a,0)
0
.
∂η M
∂x
(a,∆) . . .
1 ∂η M
2 ∂x
(a,0)
∂η M
∂x
(a, b − ∆)
∂η M
∂x
(a,∆) . . .
0 . . . 0
1 ∂η M
2 ∂x
(a,0)
0 . . . 0
1 ∂η M
2 ∂x
(a, b) 0 . . . 0
∂η M
∂x
(a, b − ∆)
1 ∂η M
2 ∂x
(a, b) 0 . . . 0
. . .
. . .
. ..
∂η M
∂x
(a,∆) . . .
1 ∂η M
2 ∂x
(a,0)
∂η M
∂x
(a, b − ∆)
∂η M
∂x
(a,∆) . . .
⎧
1 ∂η M
2 ∂x
(a, b) 0
∂η M
∂x
(a, b − ∆)
1 ∂η M
2 ∂x
(a, b)
M 1 (w)
⎫
⎧
M MP1 (w)
⎤
⎥
⎦
⎫
×
⎪⎨
.
⎪⎬
=
⎪⎨
.
⎪⎬
⎪⎩
M N (w)
⎪⎭
⎪⎩
M MPN (w)
⎪⎭
où ∆ est le pas séparant chaque point le long de y. La déconvolution consite à inverser ces systèmes
matriciels et permet d’identifier l’effort sur la limite aux différents points de discrétisation.
(5.39)
On précise que la résolution numérique de ces systèmes n’est pas immédiate. Effectivement les matrices
contenant les η T ou les ∂η M
∂x
, en plus d’être rectabgulaire, ont des lignes très similaires une à une
et sont donc mal conditionnées, ce qui rend leurs inversions délicates. Afin de pallier ce problème, on
utilise une méthode de résolution par troncature des valeurs singulières. Son application et en particulier
le réglage du paramètre de régularisation sont détaillés dans le chapitre présentant les simulations
numériques. Par la suite, les matrices contenant les valeurs des fonctions test seront respectivement
notées [η T ] et [ ∂η M
∂x
]
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