Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
pas multipliés par les mêmes quantités et qu’un choix judicieux de la fonction permettra d’éliminer
des termes. Nous séparerons donc en deux parties distinctes le calcul de l’effort tranchant et celui
du moment fléchissant, car la fonction test η(x) permettant leur calcul ne sera pas la même, comme
expliqué dans les paragraphes suivants.
1.4 Reconstruction de l’effort tranchant
Il est maintenant nécessaire de définir la fonction η(x). Celle-ci doit permettre de calculer le plus
simplement possible les valeurs de l’effort tranchant qui apparaissent dans l’équation (1.9).
1.4.1 Définition de la fonction test
Afin d’isoler, par exemple T(a), il est nécessaire de choisir une fonction particulière η(x) qui annule
tous les termes de la partie gauche de l’équation, excepté celui qui multiplie T(a). Dans ce cas, quelle
que soit la fonction η(x) choisie, celle-ci doit vérifier les conditions suivantes :
⎧
η(a) = 1 η(b) = 0
⎪⎨
∂η
∂x (a) = 0
∂η
∂x (b) = 0
∂ 2 η
(a) = 0 ∂2 η
(b) = 0
∂x 2 ∂x 2
(1.10)
⎪⎩ ∂ 3 η
(a) = 0 ∂3 η
(b) = 0
∂x 3 ∂x 3
Afin de dissocier les différentes fonctions η(x) que nous allons présenter, la fonction η(x) qui vérifira
les conditions 1.10 sera notée η T (x) en rapport avec T , l’effort tranchant.
En considérant qu’il n’y ait pas d’effort externe appliqué dans l’intervalle d’intégration ]a, b[, l’équation
1.3 peut s’écrire :
∫ b
η(x)[EI ∂4 w
a ∂x (x) − 4 ρSω2 w(x)]dx = 0 (1.11)
Ainsi, en utilisant les conditions décrites par le système 1.10 , la forme générale 1.9 se réduit à
l’équation 1.12.
∫ b
T(a) = −
a
w(x)[ρSω 2 η T (x) − EI ∂4 η T
(x)]dx (1.12)
∂x4 37