Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
On exprime finalement T(a) par une intégrale ne dépendant que du déplacement w(x) et de données
structurelles (Si le point de coordonnée a correspond à l’extrémité gauche de la poutre, alors l’effort
tranchant calculé, sera celui appliqué au tronçon droit de la poutre). Cette expression intégrale
présente un grand avantage. Car elle ne dépend que des déplacements (sans termes de dérivation) et
que la sommation aura tendance à réduire l’effet des erreurs associées aux incertitudes de mesure.
La stabilité obtenue devrait être plus importante qu’avec une méthode d’approximation directe de la
dérivée troisième du déplacement.
On précise que le calcul de l’effort tranchant à l’autre borne (x = b) du domaine d’intégration est
analogue en utilisant la fonction symétrique η T (x) = η T (b + a − x) dans l’équation 1.12 .
1.4.2 Exemple de fonction test
La fonction η T (x) doit vérifier les 8 conditions 1.10. On propose dans ce paragraphe de développer
η T (x) en une fonction polynômiale où les constantes sont calculées de manière à respecter le système
1.10. Le degré du polynôme doit donc être au minimum 7. Dans ce cas son expression est la suivante.
(x − a)4 − a)5 − a)6 − a)7
η T (x) = 1 − 35 + 84(x − 70(x + 20(x (1.13)
(b − a)
4
(b − a)
5
(b − a)
6
(b − a) 7
L’expression de sa dérivée quatrième, utile au calcul de l’effort tranchant est :
∂ 4 η T
∂x (x) = −840 1 (x − a)
− a)2
− a)3
+ 10080 − 25200(x + 16800(x (1.14)
4 (b − a)
4
(b − a)
5
(b − a)
6
(b − a) 7
Les polynômes présentent l’avantage d’être indéfiniment dérivables.
Les figures 1.2 et 1.3 nous montrent les formes de la fonction polynomiale et de sa dérivée quatrième
utiles au calcul intégrale de l’équation 1.12. Pour ces représentations, la norme |b − a| de la longueur
d’intégration est choisie arbitrairement égale à 1. La fonction η T (x) ne change pas, quelque soit la
longueur de l’intervalle d’intégration, contrairement à la dérivée quatrième ∂4 η T
∂x 4 (x) dont les valeurs
augmentent considérablement lorsque le domaine d’intégration [a,b] diminue. Cette remarque prendra
toute son importance dans la suite, car elle sera une limite lors de la mise en oeuvre du calcul discret
de l’intégrale 1.12
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