Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 6. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
6.3.2 Simulations numériques
Des simulations numériques ont été menées, utilisant les déplacements et la méthode d’intégration
précédemment décrits. Pour chacun des cas traités, des indicateurs d’erreur ont été définis pour estimer
l’erreur de discrétisation. Ces indicateurs comparent, comme dans le cas à une dimension, une
valeur issue d’un calcul analytique exact, servant de référence, avec une valeur issue du calcul intégral
discret.
6.3.2.1 Reconstruction de l’effort tranchant
Deux paramètres sont à prendre en compte lors du calcul des intégrales discrétisées : la finesse du
maillage et la taille de la surface d’intégration. Analytiquement l’équation 6.13 ne comporte aucune
approximation. La discrétisation des intégrales se doit d’être analysée.
L’influence de la finesse du maillage est réprésentée sur les figures 6.7, où sont comparées des intégrales
calculées à partir d’un effort tranchant analytique (termes de gauche des équations 6.13
et 6.14) et des intégrales calculées numériquement à partir de déplacements discrétisés (termes de
droite des équations 6.13 et 6.14). Les trois figures proposent trois pas de discrétisations différents :
∆ = 1cm, ∆ = 0.5cm et ∆ = 0.25cm.
La taille de la surface d’intégration S est constante. Il s’agit d’un carré de 10cm de côté. Sa largeur
d’intégration comporte donc respectivement 11 (∆ = 1cm), 21(∆ = 0.5cm) ou 41(∆ = 0.25cm)
points. L’effet de la finesse du maillage est évident, on constate que plus le pas est petit, meilleure
l’approximation est. Nous ne nous attarderons pas sur ce paramètre classique, aux effets évidents. Il
était toutefois indispensable de l’illustrer.
L’intérêt principal de cette section est la recherche de la taille de la surface d’intégration adéquate.
Dans le cas des poutres, il avait été constaté au chapitre 2, un lien direct entre la justesse de l’approximation
et le nombre d’onde compris dans l’intervalle d’intégration, indépendemment de la fréquence
considérée.
On définit un indicateur d’erreur comme suit :
⎛ ∫
ǫ T = 10log 10
⎝ S (−ρhω2 η T + D∆ 2 η T )w + ∫ ⎞
σ T
wT(η T )
∫
⎠ (6.16)
σ T
T(w)η T
où le numérateur est issu d’un calcul numérique utilisant les données discrétisées, et le dénominateur
est une intégrale discrète utilisant des données calculées analytiquement.
Dans le cas des plaques, du fait qu’il y ait plusieurs directions de propagation, le nombre d’onde peut
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