Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 2. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
L’approximation de cette intégrale est de la forme :
∫ b
f(x)dx = ∆ x Σ n−1 f(x i ) + f(x i+1 )
i=1
(2.1)
a
2
où f(x) est la fonction à intégrer, n est le nombre de points de mesure utilisé, ∆ x est le pas d’intégration
et i l’indice de numérotation des points.
La méthode de Gauss-Legendre (cf [SS 66]) utilise, elle, un maillage irrégulier à symétrie centrale.
Une pondération particulière A i est associée à chaque point du maillage. L’expression de cette
approximation est la suivante :
∫ b
|b − a|
f(x)dx = Σ n i=1
a 2
A if(x i ) (2.2)
où x i est la coordonnée du point numéro i du maillage irrégulier, et A i est la pondération utilisée en
ce même point.
En pratique, la méthode trapézoïdale est une technique simple à appliquer grâce à son maillage régulier.
Cependant elle nécessite une répartition de point sur l’ensemble du domaine à intégrer, notament
aux extrémités. La mesure des déplacements aux limites peut dans certains cas être problématique.
La méthode de Gauss-Legendre a l’avantage d’être plus précise, mais nécessite la mise en place
contraignante d’un maillage irrégulier. Elle évite cependant d’avoir à mesurer ou calculer les déplacements
aux bornes de l’intégrale. Ceci peut être un grand avantage face à la méthode trapézoïdale
lorsque la mesure du déplacement à l’extrémité d’une poutre n’est pas possible.
Le tableau 2.1 permet de visualiser les différences entre les deux types d’intégrations numériques proposées.
Sur un interval de mesure [0, 1], on considère une intégration numérique utilisant 10 points.
Le tableau donne la localisation x i et la pondération A i appliquée pour chaque point utilisé :
Pour le calcul des coefficients de pondération et des localisations, nous renvoyons le lecteur aux
références [BAK 77] et [SS 66]. On notera que la valeur 0.111 présente dans le tableau correspond à
la valeur du pas ∆x lorsque le maillage est régulier.
Une troisième méthode a été testée. Cette méthode dite "hybride" a été développée par Alpert [ALP 99].
Celle-ci se veut être un compromis intéressant entre les trapèzes et Gauss-Legendre. Afin de ne pas
alourdir les paragraphes suivants, la méthode "hybride" est succintement présentée dans l’annexe B.
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