Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

Annexe A
Calcul détaillé de l’équation intégrale
générale du cas des poutres en flexion
Cette annexe présente, le calcul permettant l’obtention l’équation 1.9 sous sa forme la plus générale.
Toutes les étapes mathématiques y sont developpées. On rappelle que ce calcul est destiné aux
identifications d’efforts pour les poutres et que les vibrations transversalles sont modélisées par des
équations différentielles du quatrième ordre. Ce mouvement de flexion est régi par l’équation :
EI ∂4 w
∂x 4 (x) − ρSω2 w(x) = F(x)
(A.1)
où ρ est la masse volumique du matériaux, E le module d’Young complexe du matériaux, I l’inertie
de flexion, w le déplacement transversal, S la section de la poutre, ω la pulsation de l’excitation et
F(x) l’excitation. Les quantités à extraire sont
⎧
⎪⎨
⎪⎩
T(x) = EI ∂3 w
∂x 3 (x)
M(x) = EI ∂2 w
∂x 2 (x)
(A.2)
L’équation de mouvement A.1, est multipliée par une fonction arbitraire η(x) définie ultérieurement.
L’égalité résultante est intégrée sur un intervalle défini [a,b].
∫ b
a
∫
η(x)[EI ∂4 w
b
∂x (x) − 4 ρSω2 w(x)]dx = η(x)F(x)dx
a
(A.3)
où a et b sont les deux points définissant les limites du domaine d’intégration.
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