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INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE l’inversion de la matrice de transfert. Pour cela, les entrées et sorties du système sont projetées dans la base des modes propres de la structure. Cette technique a été largement developpée (cf. [SZA 89], [ZAB 90], [WG 93], et [HCDV 97]). Elle nécessite malgré tout la connaissance du comportement modal de la structure, et la gamme de fréquence étudiée sera limitée par les modes pris en compte dans le calcul. De plus, l’omission d’un mode propre dans cette bande de fréquence affectera grandement la justesse du résultat. Méthode de régularisation La résolution d’un problème mal posé doit donc passer par les notions de solution approchée et de solution stable : c’est le but des méthodes de régularisation. Il s’agit de réduire l’hypersensibilité de la solution aux variations des données d’entrées. Deux grandes approches de régularisation peuvent être citées : la régularisation de Tikhonov et la TSVD (truncated Singular Value Decomposition). La plus ancienne de ces méthode, celle de Tikhonov [TA 76], consiste à stabiliser le problème en minimisant la norme ‖{X(ω)} − [H(ω)]{F(ω)}‖ par l’introduction d’un opérateur régularisant β(ω). Le problème revient à minimiser la quantité ‖{X(ω)} − [H(ω)]{F(ω)}‖+β(ω) ‖{F(ω)}‖. On cherche via cette démarche une procédure de calcul d’une approximation qui adoucisse les effets du bruit et qui fournisse une solution physiquement stable. Si on donne un poids trop important à l’opérateur régularisant, on conçoit aisément que la solution (par rapport à une hypothétique solution exacte) peut être altérée de façon non négligeable : ceci est un avantage dans le cas où l’on est sûr de l’information a priori. Si, en revanche, cette information est peu sûre, on doit trouver, via le paramètre de régularisation, le juste compromis entre la stabilité et la vraisemblance de la solution obtenue. La méthode de troncature de valeurs singulières est beaucoup plus répandue. Elle a été décrite dans le cadre de la mesure indirecte d’efforts par Powell [PS 84]. Le principe est d’exprimer la matrice de transfert sous cette forme : [H] mn = [U] mn [S] nn [V ] ∗ nn (6) où [U] mn et [V ] ∗ nn sont des matrices unitaires, et [S] nn est la matrice diagonale des valeurs singulières classées par ordre décroissant. Le nombre de valeurs singulières non nulles de [H] mn définit son rang, c’est à dire le niveau de dépendance linéaire de ses colonnes. En pratique, aucune des valeurs singulières n’est nulle, mais certaines sont très faibles. Ce sont ces faibles valeurs singulières, qui sont la cause de l’hypersensibilité du problème en amplifiant considérablement le bruit de mesure. 28
INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE Le principe de cette régularisation sera donc de considérer comme nulles, toutes valeurs singulières inférieures à un certain seuil fixé. Ce seuil sera alors le paramètre de régularisation. Il est généralement dépendant du niveau d’incertitude des fonctions de transfert composants [H]. Cette méthode, simple d’utilisation, a été utilisée dans de nombreux travaux d’identification (cf. [EJR 88], [WG 93], [HEN 94], [SZA 89], [PG 00]et [HDCV 99]). Cependant l’omission de valeurs singulières, même si elle régularise le problème, entraîne en acoustique une sous estimation de la puissance acoustique globale (cf. [MOO 03]). Des techniques d’ajustement ont donc été développées. Moorhouse (cf. [MOO 03]) propose une méthode qui ajuste la puissance estimée et la puissance mesurée afin de compenser l’annulation de certaines valeurs singulières. Pézerat [PG 00] compare la TSV D avec une régularisation par filtrage des hauts nombres d’ondes, initialement développée avec la technique RIFF. L’étude montre que la troncature des valeurs singulières est physiquement équivalente à un filtrage en nombre d’onde. Autres problèmes inverses appliqués aux vibrations et à l’acoustique Dans le domaine des vibrations et de l’acoustique, les problèmes inverses sont nombreux. Mise à part l’identification de source, expliquée précédemment, on trouve de nombreuses et diverses applications. Il est important de noter que tous ces travaux considèrent la source de la vibration fixe et en régime harmonique. Mais il existe des techniques de localisation ou de caractérisation de sources ne correspondant pas à ces critères. Zhu et Law (cf.[ZL 01], [ZL 02] et [ZL 03]) ont développé des méthodes d’identification d’effort mobile, basées sur l’équation de déformation de la structure et sur une régularisation de type Tikhonov. La technique est limitée aux efforts non oscillants. L’étude des vibrations créees par un effort oscillant et mobile, est extrèmement complexe. Ces travaux en sont encore au stade du problème direct. Pesterev et Bergman y ont consacré de nombreux articles (cf. [PB 97a],[PB 97b],[PB 00]). L’identification des conditions aux limites est également un problème complexe. Pézerat [PEZ 96] propose une méthode simple basée sur le calcul des impédances de translation et de rotation afin d’identifier des conditions aux limites extrèmes : appuyées, encastrées, guidées, ou libres. Divers méthodes numériques et expérimentales ont été mises au point. Elles utilisent principalement sur un modèle élements finis. On peut citer entre autres les travaux de Kamiya[KSMY 05] et de Ahmadian[AJM 01]. 29
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CONCLUSION GÉNÉRALE Des fonctions
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ANNEXE B. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 1
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ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’
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Annexe D Singularités des contours
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Annexe E Compléments sur les fonct
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ANNEXE E. COMPLÉMENTS SUR LES FONC
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Annexe F Liste des communications s
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BIBLIOGRAPHIE [DS 85] DESANGHERE G.
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BIBLIOGRAPHIE [MOO 03] [MSW 94] MOO
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BIBLIOGRAPHIE [TA 76] [TAR 87] TIKH
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FOLIO ADMINISTRATIF THESE SOUTENUE
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