Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 6. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
FIG. 6.1 – Différentes étapes du calcul et erreurs entachant la reconstruction, dans le cas ici de l’effort
tranchant.
6.2 Calculs directs
Deux cas différents ont été traités : l’un pour la reconstruction de l’effort tranchant, l’autre pour la
reconstruction du moment fléchissant.
6.2.1 Plaque appuyée aux quatre bords, reconstruction de l’effort tranchant
Une plaque appuyée aux bords présente un déplacement et un moment fléchissant nuls à ses limites.
Ce cas théorique simple permet d’utiliser la décomposition modale pour le calcul direct.
Le déplacement w vérifie l’équation de mouvement en régime harmonique :
−ρhω 2 w + D∆ 2 w = Fδ(X f , Y f ) (6.1)
où D = E(1+jη)h3 , ρ est la masse volumique, h est l’épaisseur de la plaque, ω est la pulsation et F est
12(1−ν 2 )
l’amplitude de la force excitatrice localisée en (X f , Y f ).
Le déplacement est décrit dans une base cinématiquement admissible, vérifiant des conditions limites
appuyées. Celles-ci imposent un déplacement et un moment fléchissant nuls aux limites, traduits par
les équations suivantes :
⎧
⎨
⎩
w(x, y) = 0
( ∂ 2 w
∂x 2 1
− ν ∂2 w
∂x 2 2
)
n
2
1 + ( ν ∂2 w
∂x 2 1
)
+ ∂2 w
∂x n
2 2
2 2 = 0
où n 1 et n 2 sont les coefficients directeurs du vecteur normal extérieur à la ligne frontière considérée.
On décompose le déplacement dans la base modale vérifiant 6.2. Les déformées propres de la structure
6.4 utilisées par la suite, fournissent une base idéale compte tenu de leur orthogonalité.
(6.2)
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