Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...
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ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’ÉQUATION INTÉGRALE GÉNÉRALE DU CAS DES<br />
PLAQUES EN FLEXION<br />
Après dérivation pour λ =on obti<strong>en</strong>t :<br />
∂<br />
∂λ H [w(x 1, x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t)]| λ=0<br />
= ∫ t 0<br />
t 1<br />
∫S<br />
− D 2<br />
(<br />
(<br />
+2ν<br />
[<br />
ρh ∂w<br />
∂t (x 1, x 2 , t) ∂W∗<br />
∂t<br />
(x 1 , x 2 , t)<br />
2 ∂2 w<br />
∂x 2 1<br />
∂ 2 w<br />
∂x 2 1<br />
En considérant les simplifications d’écriture suivantes :<br />
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗<br />
∂x 2 1<br />
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗<br />
∂x 2 2<br />
(x 1 , x 2 , t) + 2 ∂2 w<br />
∂x 2 2<br />
(x 1 , x 2 , t) + ∂2 w<br />
∂x 2 2<br />
+4(1 − ν) ∂2 w<br />
∂x 1∂x 2<br />
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗<br />
∂x 1∂x 2<br />
(x 1 , x 2 , t)<br />
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗<br />
∂x 2 2<br />
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗<br />
)]<br />
∂x 2 1<br />
dx 1 dx 2 dt<br />
(x 1 , x 2 , t)<br />
)<br />
(x 1 , x 2 , t)<br />
(C.4)<br />
<strong>et</strong><br />
on obti<strong>en</strong>t :<br />
w(x 1 , x 2 , t) = w(x 1 , x 2 )e −jωt<br />
W ∗ (x 1 , x 2 , t) = W ∗ (x 1 , x 2 )e −jωt<br />
∂F<br />
∂x i<br />
(x 1 , x 2 ) = F, i<br />
(C.5)<br />
(C.6)<br />
∫<br />
−ρhω 2 wW ∗ − D [w, 11 W ∗ , 11 +w, 22 W ∗ , 22 +ν(w, 11 W ∗ , 22 +w, 22 W ∗ , 11 )<br />
(C.7)<br />
S<br />
+2(1 − ν)w, 12 W ∗ , 12 ] dx 1 dx 2 = 0 ∀ W ∗ (C.8)<br />
soit :<br />
∫<br />
S<br />
∫<br />
−ρhω 2 wW ∗ dx 1 dx 2 = D [w, 11 W ∗ , 11 +w, 22 W ∗ , 22 +ν(w, 11 W ∗ , 22 +w, 22 W ∗ , 11 )<br />
S<br />
+2(1 − ν)w, 12 W ∗ , 12 ] dx 1 dx 2<br />
Afin de décomposer le calcul, on pose :<br />
∫<br />
− ρhω 2 wW ∗ dx 1 dx 2 = D × (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 )<br />
S<br />
avec<br />
∫<br />
A 1 = (w, 11 W ∗ , 11 +w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2<br />
∫S<br />
A 2 = (w, 22 W ∗ , 22 +w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2<br />
∫S<br />
A 3 = ν (w, 11 W ∗ , 22 −w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2<br />
S<br />
∫<br />
A 4 = ν (w, 22 W ∗ , 11 −w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2<br />
S<br />
(C.9)<br />
(C.10)<br />
(C.11)<br />
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