Curiosa Mathematica

154. Stelling van Ptolemaeus
De familie krommen met constante breedte hierboven hebben scherpe hoeken, een soort van knikpunten.
De volgende familie, gedefinieerd met behulp van parametervergelijkingen, zijn echter overal glad. Voor
de parameters geldt dat a,b ≥ 0 en dat k oneven is. Het is wel mogelijk dat de resulterende krommen
hiermee niet convex zijn.
x = p(θ)·cosθ−p ′ (θ)·sinθ
y = p(θ)·sinθ+p ′ (θ)·cosθ
met p(θ) = acos 2
kθ
+b
2
Van alle krommen met eenzelfde breedte s heeft de cirkel de grootste oppervlakte, namelijk 1
4 ·π ·s2 , en
volgens de stelling van Blaschke-Lebesgue heeft de Reuleauxdriehoek de kleinste oppervlakte, namelijk
1
2 (π −√ 3)·s 2 . Ook opmerkelijk is dat alle krommen met constante breedte s dezelfde omtrek hebben!
De stelling van Barbier garandeert dat deze steeds π ·s is, ongeacht de vorm van de kromme.
154 Stelling van Ptolemaeus
Deze klassieke stelling speelt een centrale rol in de Euclidische meetkunde. Verschillende eigenschappen,
zoals de stelling van Pythagoras, de cosinusregel, de gulden snede in het pentagram en een heleboel
goniometrische identiteiten kunnen eruit afgeleid worden. Ze wordt vernoemd naar Claudius Ptolemaeus,
Grieks astronoom en wiskundige, die de stelling gebruikte bij het opstelling van goniometrische tabellen
voor astronomische doeleinden.
D
In een koordenvierhoek ABCD (waarvan de hoekpunten op dezelfde cirkel liggen) geldt de volgende
relatie.
|AB|·|CD|+|BC|·|AD| = |AC|·|BD|
De stelling geldt in twee richtingen: wanneer bovenstaande gelijkheid optreedt, is de vierhoek ingeschreven
in een cirkel. Een veralgemeende eigenschap stelt dat de volgende ongelijkheid steeds opgaat, met
gelijkheid als en slechts als ABCD een koordenvierhoek is.
|AB|·|CD|+|BC|·|AD| ≥ |AC|·|BD|
Een eerste mooie gevolg is dat voor een punt op de omgeschreven cirkel van een gelijkzijdige driehoek, de
afstand tot het verst afgelegen hoekpunt gelijk is aan de som van de afstanden tot de twee dichtstbijzijnde
hoekpunten.
95
A
B
C