Curiosa Mathematica

323. Rubik’s Cube
elkaar geörienteerd kunnen worden op elk drie mogelijkheden (de oriëntering van het achtste hoekblokje
ligt vast door de vorige zeven). De 12 randblokjes kunnen worden gepositioneerd op 12!
2 mogelijkheden bij
vastgekozen hoekblokjes, aangezien een even permutatie van hoekblokjes enkel bij een even permutatie
van randblokjes voorkomt. Elf ervan kunnen onafhankelijk van elkaar worden geörienteerd, daarna ligt
de twaalfde ook vast. Uiteindelijk is het immense totaal aantal mogelijke posities gegeven door:
8!·3 7 · 12!
2 ·211 = 43.252.003.274.489.856.000
Ondanks dit gigantische aantal, is elke initiële configuratie op te lossen in ten hoogste 20 bewegingen ∗ !
In 1995 bewees Michael Reid dat 20 bewegingen ook nodig zijn voor de “superflip”-positie, waarbij de
hoeken correct staan en de randen op de goeie plaats, maar omgedraaid. De moeizame ontwikkeling en
intensieve computerberekeningen waren de aanleiding voor de benaming voor 20 als “Gods getal”.
Naast combinatorisch is de Rubik’s Cube ook groepentheoretisch interessant, aangezien de bewegingen
op deze puzzel de structuur van een permutatiegroep vormen. De groep (G,·) bestaat uit de verzameling
legale bewegingen, onder de samenstelling ervan als bewerking. Het is duidelijk dat aan de groepsaxioma’s
voldaan is: de bewerking is gesloten, er bestaat een “lege” beweging E als identiteitselement, een beweging
kan eenvoudigweg teruggedraaid worden als inverse, en ze zijn ook associatief. De standaardnotatie om
de bewerking te beschrijven is die van wiskundige David Singmaster:
• F: één kloksgewijze rotatie van het voorvlak
• B: één kloksgewijze rotatie van het achtervlak
• U: één kloksgewijze rotatie van het bovenvlak
• D: één kloksgewijze rotatie van het ondervlak
• L: één kloksgewijze rotatie van het linkervlak
• R: één kloksgewijze rotatie van het rechtervlak
De kortste manier om de superflippositie op te lossen (in HTM):
R·L·U 2 ·F ·U −1 ·D ·F 2 ·R 2 ·B 2 ·L·U 2 ·F −1 ·B −1 ·U ·R 2 ·D ·F 2 ·U ·R 2 ·U
Merk op dat pakweg F ·R = R ·F: de groep is niet abels. Elk van deze basisbewegingen heeft orde 4,
maar de grootste orde die voorkomt is 1260: (R·U 2 ·D −1 ·B ·D −1 ) 1260 = E.
De groep is duidelijk niet cyclisch; dit zou betekenen dat elke herhaaldelijke serie draaiingen uiteindelijk
altijd de opgeloste kubus zou teruggeven (weliswaar na immens veel draaiingen). De groepsstructuur
biedt wel andere mogelijkheden om de puzzel op te lossen. Morwen Thristlethwaite gaf een algoritme
waarmee een dooreengegooide kubus opgelost kan worden, via de volgende deelgroepen:
∗ Een “beweging” wordt hier gerekend in half turn metric (HTM), waarbij elke draai van een zijde over eender welke
hoek als één beweging telt. Andere systemen, zoals quarter turn metric (QTM), tellen bewegingen per kwartrotatie.
245