Curiosa Mathematica

231. Driehoek van Pascal
de driehoeksgetallen. Door de elementen in de derde diagonalen twee aan twee samen te tellen, kunnen
ook de kwadraatgetallen gevonden worden.
Verrassender is dat in de “scheve diagonalen” de Fibonaccigetallen optreden:
1
1 1
1 2 1
1
1 2
1 3 3 1
3 5
1 4 6 4 1
8 13
1 5 10 10 5 1
21 34
1 6 15 20 15 6 1
55 89
... ... ... ... ... ... ... ...
144 233
De Catalangetallen (zie 211, blz. 134) kunnen in Pascals driehoek afgelezen worden uit de verschillen van
de elementen in de middelste kolom met een van hun buren.
1
1 1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
... ... ... ... ... ... ... ...
Er zitten nog een heleboel stellingen verborgen: Henry Gould ontdekte in 1972 de volgende eigenschap,
de davidsterstelling; eronder staat een schematische weergave over de onderlinge ligging in de driehoek.
n−1 n n+1 n−1 n n+1
· · = · ·
k−1 k +1 k k k −1 k+1
Bovendien geldt:
n−1 n n+1 n−1 n n+1
ggd , , = ggd , ,
k−1 k+1 k k k−1 k+1
153
1
2
5