Curiosa Mathematica

112. Elliptische krommen
nooit verwijderd worden, is de SVC. Echter, daar waar het Cantorstof maat∗ 0 heeft, bezit de SVC maat
, en dit speelt een sleutelrol in de eigenschappen van Volterra’s functie.
1
2
We beginnen bij een constante functie f0 = 0. Zoek nu in de functie h de laatste x-waarde ten hoogste 1
8
waar de afgeleide 0 is en breidt die vanaf daar constant uit tot aan 1
8
. Spiegel dit gedeelte om de as x = 1
8 ,
en plak het stuk tussen 0 en 1
4 op f0 zoals bij de constructie van SVC. Dit wordt f1; merk op dat f1
nog steeds afleidbaar is. Herhaal deze stappen met kleinere stukjes uit h, geplakt op de overeenkomstige
SVC-gaten; het limietgeval definieert de functie V van Volterra.
De uiteindelijke functie ziet er als volgt uit:
Omdat een functie Riemann-integreerbaar is wanneer ze “bijna overal” continu is, in de zin dat de maat
van eventuele discontinuïteiten 0 moet zijn, is V ′ niet integreerbaar. Immers, alle eindpunten van SVC
leveren een discontinuïteit in V ′ , en hun maat is groter dan nul.
112 Elliptische krommen
Elliptische krommen spelen een centrale rol in getaltheorie en vormen een niet te onderschatten werkterrein
in huidig onderzoek. Zij vormen de sleutel tot een bewijs van de Laatste Stelling van Fermat, vinden
toepassingen in cryptografie, kunnen gebruikt worden om gehele getallen te ontbinden in factoren, etc.
Elke elliptische kromme kan worden voorgesteld als een algebraïsche kromme van de volgende vorm.
y 2 = x 3 +ax+b met 4a 3 +27b 2 = 0
De voorwaarden op a en b zijn afkomstig van de elliptische discriminant ∆ = −16(4a 3 +27b 2 ) en zorgen
ervoor dat de kromme geen keerpunten heeft en zichzelf niet snijdt. Wanneer ∆ strikt positief is, bestaat
de grafiek uit twee losse compomenten, terwijl bij strikt negatieve ∆ de grafiek samenhangend is. Enkele
voorbeelden van elliptische krommen:
∗ Een verzameling S bezit Lebesguemaat µ (vernoemd naar Henri Lebesgue) als de verzameling van alle totale lengtes
van de unie van intervallen die de verzameling S volledig kunnen bedekken, infimum µ heeft.
63