Curiosa Mathematica

1 1 1 = 7
+ 1 1 1 1
1 0 1 1 ✁0 = 11
+ 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 ✁0 = 17
+ 1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 ✁0 ✁0 = 13
+ 1 1 0 1 1
1 0 1 ✁0 ✁0 ✁0 = 5
+ 1 0 1 1
1 ✁0 ✁0 ✁0 ✁0 = 1
45. p-adische getallen
Het Collatzsysteem kan ook worden toegepast op de gehele getallen Z i.p.v. N0. In dit geval wordt
vermoed dat er vijf cykels zijn, en dat alle beginwaarden uiteindelijk in één ervan terechtkomen. De
gekende cykels zijn:
• 1 → 4 → 2 → 1 → ...
• 0 → 0 → ...
• −1 → −2 → −1 → ...
• −5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5 → ...
• −17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41
→ −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 → ...
Het kan nog verder worden uitgebreid, tot over gans R of zelfs C, met behulp van de volgende functie.
Voor natuurlijke getallen n herleidt g(n) zich dan juist naar de oorspronkelijke definitie van Collatz.
g(z) = z
2 ·cos2 π
2 ·z
+(3z +1)·sin 2π 2 ·z
45 p-adische getallen
= 1
·(2+7z −(2+5z)·cos(πz))
4
De p-adische getallen vormen een alternatieve uitbreiding van het veld der rationale getallen. Kurt
Hensel was de eerste die ze beschreef, in 1897, hoewel eerder werk van Ernst Kummer er al impliciet
gebruik van maakte. De clou van de opbouw is een andere metriek te kiezen dan die van de klassieke
velduitbreiding van Q naar R, die gebruikmaakt van de absolute waarde, ook wel de Euclidische metriek
genoemd. In tegenstelling tot reële getallen met grondtal p liggen p-adische getallen dichter bij elkaar
naarmate hun verschil een grotere macht van p is. Ondanks dat ze er raar uitzien, maakt dit ze (met name
in getaltheorie) tot een krachtig hulpmiddel, omdat ze zo bepaalde informatie van congruentie coderen.
Andrew Wiles’ bewijs van de Laatste Stelling van Fermat bijvoorbeeld baat deze handige eigenschap uit.
In R kunnen dezelfde reële getallen uitgedrukt en omgezet worden in verschillende grondtallen. Een eerste
belangrijke verschil met de p-adische getallen is dat voor verschillende waarden van p, de geconstrueerde
systemen in essentie verschillend zijn: 2-adische en 3-adische getallen bijvoorbeeld kunnen niet zomaar
“vertaald” worden, terwijl reële getallen eenvoudig van grondtal 2 naar grondtal 3 te converteren zijn.
Nog een conventie daaromtrent: zonder expliciete vermelding over welk systeem Qp er wordt gewerkt,
wordt er een subscript p extra genoteerd achteraan het getal.
27