Curiosa Mathematica

246. Cykelgrafen van groepen
De graaf hieronder bevat elk van de verboden grafen uit Beinekes lijst, en is dus zeker geen lijngraaf. Hou
er wel rekening mee dat een geïnduceerde subgraaf ook alle bogen tussen de gekozen toppen meeneemt,
dus de subgraaf gevormd door de twee bovenste toppen en de toppen uiterst links en rechts bijvoorbeeld,
is niet de verboden graaf I uit de lijst!
246 Cykelgrafen van groepen
247 Hamiltonpaden
C8 C2 ×C4 C2 ×C2 ×C2 Q8 D4
Een analoog probleem als de Eulerpaden (zie 243, blz. 163), maar dan omtrent toppen i.p.v. bogen, wordt
vernoemd naar William Hamilton, die een puzzle bedacht waarbij het de bedoeling was een gesloten pad
te vinden op een icosaëder die alle punten juist één keer aandoet.
Gegeven een graaf, bestaat er een (gesloten of open) traject dat alle toppen
van de graaf juist één keer aandoet?
Deze trajecten worden overeenkomstig met die van Euler, Hamiltonpaden en Hamiltoncykels genoemd.
Men zou verwachten dat aangezien er eenvoudige criteria zijn voor het al dan niet bestaan van Eulerpaden,
ook het probleem van de Hamiltonpaden eenvoudig op te lossen moet zijn. Dit blijkt echter niet het
geval: het is zeer moeilijk te bepalen of een willekeurige graaf Hamiltonpaden of -cykels bevat (zelfs
NP-compleet, zie 286, blz. 195); een graaf met zo’n cykel heet dan Hamiltoniaans. De icosaëder en alle
andere Platonische en Archimedische lichamen zijn wel degelijk Hamiltoniaans:
Juist omdat Hamiltonpaden zo lastig te vinden zijn, vormen ze een centraal onderwerp in heel wat
grafentheoretische stellingen, zoals de stelling van Grinberg (zie 248, blz. 168) of het vermoeden van
167