Curiosa Mathematica

116 Riemanns ζ-functie
116. Riemanns ζ-functie
De Riemannhypothese is zonder twijfel het grootste open probleem van de wiskunde. Sinds de eerste
beschrijving ervan, door Bernhard Riemann in zijn baanbrekende artikel Über die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse uit 1859, werden er tal van implicaties ontdekt. Vanwege het belang ervan
nam David Hilbert de Riemannhypothese op in zijn lijst van 23 problemen (zie 295, blz. 208), en het
Clay Math Institute in de beruchte Millenniumproblemen. Wie een correct bewijs van het vermoeden
levert, wordt dus naast wereldberoemd ook miljonair.
De Riemannhysterie begon bij Leonhard Euler, die in 1735 het probleem van Basel (vernoemd naar de
Zwitserse stad Basel, woonplaats van o.a. Euler en de Bernoulli’s) oploste. Pietro Mengoli vroeg in 1644
de exacte waarde van de volgende uitdrukking, die Euler via enkele geraffineerde manipulaties in verband
kon brengen met π.
∞
k=1
1 1 1 1 1 π2
= 1+ + + + +... =
k2 4 9 16 25 6
Dit probleem kan worden veralgemeend. Euler was ook in staat aan te tonen dat wanneer de kwadraten
worden vervangen door vierdemachten, de som dan convergeert naar π4
90 en dat in het algemeen, bij nde -
machten met even n, de reeks convergeert naar een rationaal veelvoud van π n . Gebruikmakende van de
Bernoulligetallen Bn kunnen deze waarden als volgt worden berekend:
∞
1
=
(2π)
k2n
2n
B2n
2(2n)!
k=1
Voor oneven exponenten n ≥ 3 zijn er geen gesloten uitdrukkingen bekend; Roger Apéry bewees in 1978
dat voor n = 3 de som convergeert naar een irrationale waarde (de constante van Apéry).Voor n = 1
herleidt de som zich tot de harmonische reeks, waarvan al langer bekend is dat deze divergeert. De
zètafunctie ζ van Riemann geeft een veralgemening van al deze waarden. ζ wordt als volgt gedefinieerd
voor willekeurige reële getallen x > 1 en ziet er geplot nog niet bepaald spectaculair uit:
ζ : ]1,+∞[ → R : x ↦→
∞
k=1
1 1 1 1 1
= 1+ + + + +...
kx 2x 3x 4x 5x De zètafunctie heeft een verticale asymptoot op x = 1 en een horizontale op y = 1. Euler toonde
eveneens de volgende relatie aan, die ζ al in verband brengt met priemgetallen. Het product loopt over
alle priemgetallen p.
ζ(x) =
p∈P
px px 2x
=
−1 2x −1 ·
3 x
3 x −1 ·
5 x
5 x −1 ...
De zètafunctie kan ook beschouwd worden in C. De formule van Euler (e x+yi = e x (cosy + isiny), zie
124, blz. 72) toegepast op de termen van de som levert een eerste uitbreiding op die geldig is over het
volledige halfvlak x > 1, d.w.z. voor alle complexe getallen met reëel gedeelte groter dan 1.
ζ : {x+yi | x > 1} → C : z = x+yi ↦→
67
∞
k=1
cosy −isiny
k x