Curiosa Mathematica

243 Bruggen van Koningsbergen
X Grafentheorie
Koningbergen, eertijds gelegen in Duitsland maar nu gekend als Kaliningrad in Rusland, wordt door de
rivier de Pregolja gescheiden in vier gebieden, met elkaar verbonden door enkele bruggen. Het beroemde
probleem van Koningsbergen vraagt nu of het mogelijk is tijdens een wandeling door de stad al deze
bruggen juist één keer over te steken, eventueel met de bijkomende eis aan te komen op dezelfde plaats
als waar de wandeling begon.
Toen Leonhard Euler van dit probleem hoorde in 1736, bewees hij al snel dat het onmogelijk is aan de
hand van een diagram, waarmee hij de basis legde voor de moderne grafentheorie. Euler tekende de
gebieden als punten (“toppen”) en verbond de punten met een lijn (“bogen”) voor elke brug tussen de
desbetreffende gebieden. Geabstraheerd stelt het probleem dus:
Gegeven een graaf, bestaat er een (gesloten of open) traject dat alle bogen
van de graaf juist één keer aandoet?
Een eenvoudige observatie maakt snel duidelijk waarom de gezochte wandeling niet bestaat. Wanneer je
via een brug een gebied betreedt, verlaat je datzelfde gebied via een andere brug, dus als zo’n wandeling
mogelijk zou zijn, moet er uit elke top een even aantal bogen vertrekken. Alleen voor begin- en eindpositie
is deze eis overbodig. Omdat in Koningsbergen vanuit elk van de vier gebieden een oneven aantal bruggen
vertrekt, is zo’n wandeling (in moderne termen een Eulerpad) onuitvoerbaar, laat staan een gesloten
wandeling (een Eulercircuit).
Wanneer alle toppen van de graaf G even graad hebben, bestaan er Eulercircuits in G; bij maximaal twee
toppen van oneven graad bestaan er Eulerpaden met deze toppen als eindpunt. Het aantal dergelijke
163