Curiosa Mathematica

271. Topologische handboeien
Het standaard antwoord op deze vraag is de eerste. Die is namelijk speciaal omdat hij geen afwijkende
eigenschappen bezit: de tweede heeft als enige geen rand, de derde is cirkelvormig, de vierde wijkt af van
kleur en de vijfde van grootte. Enkel de eerste is “normaal”, dus is die de indringer!
271 Topologische handboeien
Topologie is een betrekkelijk nieuw deelgebied. Ze ontstond pas aan het eind van de 19 de eeuw, maar
bloeide sinsdien op tot een belangrijke tak van de wiskunde en ze kent op haar beurt weer vele deelgebieden.
Topologie houdt zich bezig met de eigenschappen van de ruimte die bij (continue) vervorming
bewaard blijven; topologische objecten mogen vervormd worden als hoopjes klei, maar niet gescheurd of
geplakt. Een dergelijke continue vervorming wordt een homeomorfisme genoemd.
Een klassiek voorbeeld van zo’n continue vervorming is die van een donut tot een koffiekop.
Zulke homeomorfismen kunnen tot opmerkelijke transformaties leiden. Zo zijn twee in elkaar gehaakte,
met elkaar verbonden ringen topologisch equivalent aan diezelfde ringen, los van elkaar:
Een soortgelijke transformatie is die waarbij de twee ringen vastzitten rond een derde ring:
272 Boom van Pythagorasdrietallen
Pythagorasdrietallen zijn tupels natuurlijke getallen die de zijden van een rechthoekige driehoek vormen,
ofwel een tupel (a,b,c) ∈ N 3 zodat a 2 + b 2 = c 2 . Wanneer (a,b,c) een Pythagorasdrietal is, dan is elk
veelvoud (ka,kb,kc) daarvan dat ook; wanneer a,b en c geen gemeenschappelijke factoren hebben wordt
zo’n tupel primitief genoemd. Er bestaan oneindig veel (primitieve) Pythagorasdrietallen.
Voor natuurlijke m en n (met m > n) kan zo’n drietal (a,b,c) gegenereerd worden via Euclides’ formule.
Wanneer m en n relatief priem en niet beiden oneven zijn, wordt het resultaat een primitief drietal.
a = m 2 −n 2 , b = 2mn, c = m 2 +n 2
Nederlands wiskundige Freek Barning beschreef in 1963 een genereermethode die gebruik maakt van
matrices. Wanneer je één van volgende matrices rechts vermenigvuldigt met een kolommatrix met een
182