Curiosa Mathematica

328. Groepenwet op elliptische krommen
Nog verder veralgemeend kun je een schilderij zodanig om n spijkers hangen dat valt als je k spijkers
naar keuze verwijdert, maar blijft hangen bij minder dan k, voor elke 1 ≤ k ≤ n!
Een andere leuke veralgemening werkt met gekleurde spijkers. In dit voorbeeld blijft het schilderij enkel
hangen als er twee spijkers van dezelfde kleur blijven zitten. Je kunt zelfs een schilderij zodanig ophangen
aan n zwarte en n witte spijkers, dat het valt als je er k van elke kleur weghaalt, maar blijft hangen als
je van minstens één kleur minder dan k spijkers afhaalt, voor elke 1 ≤ k ≤ n.
ab −1 a −1 bcd −1 c −1 d
328 Groepenwet op elliptische krommen
Elliptische krommen werden geïntroduceerd in 112, blz. 63. Wanneer we één extra, speciaal punt O
toevoegen aan de kromme, namelijk het punt op oneindig, verkrijgen we enkele speciale eigenschappen
die het mogelijk maken een natuurlijke optelling op de punten van de elliptische kromme te definiëren.
Eenmaal uitgebreid met O, hebben deze krommen de eigenschap dat een rechte door twee punten ervan
ook steeds een derde punt als snijpunt heeft, en dat een raaklijn aan een punt de kromme ook steeds in
een tweede punt snijdt. Hiermee definiëren we de optelling van twee punten P en Q als volgt:
• Construeer de rechte door P en Q.
• Bepaal het derde snijpunt.
• Spiegel dit snijpunt om de x-as. Dit punt wordt P +Q.
Een punt optellen bij zichzelf, gebeurt analoog, maar dan via de raaklijn aan P.
P Q
P +Q
P 2P
Deze optelling van punten herbergt een groepsstructuur: het punt op oneindig O speelt hier de rol van
neutraal element, de optelling is gesloten, ook aan de associativiteit is voldaan en voor elk punt P is een
invers punt −P te vinden zodat de som van de twee O oplevert, nl. zijn spiegelbeeld om de x-as. Dat
P + Q hetzelfde resultaat oplevert als Q + P (commutativiteit) is duidelijk uit de constructie en zorgt
ervoor dat de groep daarenboven abels is.
249