Curiosa Mathematica

113. Vraagtekenfunctie van Minkowski
y 2 = x 3 −1 y 2 = x 3 +1 y 2 = x 3 −3x+3 y 2 = x 3 −4x y 2 = x 3 −x
Voor de volgende krommen geldt∆ = 0, waardoor ze niet singulier zijn en dus niet “elliptisch". Inderdaad,
de eerste snijdt zichzelf, en de tweede bevat een keerpunt in de oorsprong.
y 2 = x 3 −3x+2 y 2 = x 3
Louis Mordell bewees dat het aantal punten op zo’n kromme met gehele coëfficiënten steeds eindig is.
Het vermoeden van Taniyama-Shimura-Weil uit 1955 legde een belangrijk verband tussen de elliptische
krommen en modulaire vormen. Andrew Wiles bewees dit vermoeden in 1994 voor semistabiele krommen,
wat voldoende was om de Laatste Stelling van Fermat (zie 67, blz. 37) te bewijzen. In 2001 breidden
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond en Richard Taylor de technieken van Wiles uit ter bewijs
voor het algemene vermoeden, sindsdien de modulariteitsstelling.
Zoals Neal Koblitz en Victor Miller in 1985 opmerkten, biedt de algebraïsche structuur van elliptische
krommen (zie 328, blz. 249) over eindige velden toepassingen in public-key cryptografie.
Een andere nuttige toepassing doet zich voor bij het ontbinden van gehele getallen in priemfactoren.
Lenstra elliptic curve factorization of ECM is een van de snelste gekende √ factorisatiealgoritmen, zeker
voor het opsporen van kleine priemfactoren omdat zijn runtime, O(e (2+o(1))(lnplnlnp)), voornamelijk
bepaald wordt door de grootte van de kleinste factor p in plaats van het te factoriseren getal.
113 Vraagtekenfunctie van Minkowski
Hermann Minkowski definieerde in 1904 zijn vraagtekenfunctie, genoteerd als ?(x), die eigenaardige
eigenschappen vertoont. Kwadratisch irrationale getallen worden afgebeeld op de rationale getallen in
het eenheidsinterval, terwijl de rationale getallen worden afgebeeld op dyadische rationale getallen.
De kwadratisch irrationale getallen zijn irrationale oplossingen van vierkantsvergelijkingen met gehele
coëfficiënten en zijn zodoende van de onderstaande vorm. Samen met Q vormen ze een deelveld van R,
het reëel kwadratisch veld genaamd en met Q[ √ c] genoteerd. Enkel kwadratisch irrationale getallen zijn
te schrijven als een periodieke kettingbreuk (zie 22, blz. 10).
a+b √ c
d
met a,b,c,d ∈ Z, b,d = 0, c kwadraatvrij
Dyadische rationale getallen zijn breuken waarvan de noemer een macht van 2 is. Deze bepalen géén
veld, daar inversen ervan over het algemeen niet van dezelfde vorm zijn, maar wel een deelring van Q.
64