Curiosa Mathematica

De notatie a ↑ n b wordt nu algemeen gebruikt voor a ↑↑ ... ↑ b, met n pijltjes:
a ↑ n b = a ↑ n−1 a ↑ n−1 ... ↑ n−1 a
b kopieën van a
269. Hyperoperatie
Merk op dat Knuths pijlomhoogoperaties noch commutatief, noch associatief zijn, enkel rechtsassociatief.
Dus a ↑ b ↑ c = a ↑ (b ↑ c) = (a ↑ b) ↑ c, wat ook algemeen geldt voor ↑ n . Zie ook het verband met de
hyperoperatie (zie 269, blz. 181).
269 Hyperoperatie
De hyperoperatie Hn : N×N → N, geïndexeerd met n ∈ N, is een rekenkundige functie die twee argumenten
vereist voor een bijbehorende index. Het opmerkelijke eraan is dat zowel de simpele opvolgerfunctie,
optelling, vermenigvuldiging, machtsverheffing en verdere pijlomhoogoperaties (zie 268, blz. 180) in één
functie recursief gedefinieerd zitten, nl. als volgt:
⎧
b+1 als n = 0
⎪⎨
a als n = 1,b = 0
Hn(a,b) = 0 als n = 2,b = 0
1 als n ≥ 3,b = 0
⎪⎩
Hn−1(a,Hn(a,b−1)) anderzijds
Voor n = 0,1,2,3 levert dat de bekende volgende operaties op:
H0(a,b) = b+1
H1(a,b) = a+b
H2(a,b) = a·b
H3(a,b) = a b
Voor n ≥ 4 genereert de hyperoperatie de pijlomhoognotatie van Knuth.
H4(a,b) = a ↑↑ b
H5(a,b) = a ↑↑↑ b
...
Hn(a,b) = a ↑ n−2 b voor n ≥ 3
In Hn(a,b) wordt n de graad, a het grondtal en b de (hyper-)exponent genoemd.
In 1926 definieerde Wilhelm Ackermann zijn functie φ(a,b,n), die soortgelijk werkt als de hyperoperatie.
De specifieke sequentie die nu als de hyperoperatie bekend staat werd, pas beschreven in 1947 door Reuben
Goodstein, die tevens de nieuwe benamingen tetratie, pentatie, hexatie... voor de nieuwe bewerkingen
(corresponderend met de indices4,5,6...) voorstelde. Ackermanns φ-functie verschilt in de hyperoperatie
omdat die in n = 0 direct begint met de optelling, de opvolgerfunctie dus overslaand.
270 De indringer
Een klassiek probleem bij IQ-tests is het vinden van “de indringer”, het symbool dat niet thuishoort in
een gegeven reeks symbolen. Tanya Khovanova wist hierop een mooie variant te bouwen, geïnspireerd
door Martin Gardner. Welk symbool past niet in dit rijtje?
181