Curiosa Mathematica

46. Kerstmisstelling van Fermat
Een voorbeeld van een reeks die convergeert binnen Q5, maar niet in R, is de reeks 1+5+25+125+...
(of 1+10+100+1000+... in grondtal 5) met algemene term 5 n . Het blijkt immers dat 5 n in dit systeem
naar nul gaat: de afstand ertussen is |5 n −0|5 = |5 n |5 = 5 −n , en deze wordt inderdaad willekeurig klein.
De limiet van deze som is het getal ...1111, dat net −1
4 voorstelt. Algemeen kunnen we in Qp stellen:
46 Kerstmisstelling van Fermat
1+p+p 2 +p 3 +... = 1
1−p
Albert Girard was de eerste die een patroon zag in de priemgetallen die uit te drukken zijn als een som
van twee kwadraten, in 1632. Pierre de Fermat was de eerste die beweerde er een bewijs voor te hebben,
en schreef een brief daaromtrent naar Marin Mersenne op 25 december 1640; vanwege de datum wordt het
resultaat vaak aangeduid als de Kerstmisstelling. Zoals doorgaans publiceerde Fermat echter geen bewijs;
het eerste gekende werd na veel moeite door Leonhard Euler gegeven en maakt gebruik van oneindige
afdaling, Fermats favoriete bewijsprincipe. Een later bewijs via kwadratische vormen werd gegeven door
Joseph Lagrange en vereenvoudigd door Carl Friedrich Gauss. Ook Richard Dedekind gaf minstens twee
bewijzen, via Gaussiaanse gehele getallen (zie 68, blz. 37).
Girard en Fermat merkten op dat 5 = 1 2 +2 2 , 13 = 2 2 +3 3 , 17 = 1 2 +4 2 etc. Aan de andere kant kunnen de
priemgetallen 3, 7, 11 en 19 niet worden geschreven als een som van twee kwadraten. De Kerstmisstelling
zegt nu dat een oneven priemgetal p (het geval 2 is triviaal) zo’n som van twee kwadraten is, en bovendien
op juist één manier, als en slechts als p één meer is dan een viervoud. Fermat zelf schreef in zijn brief:
Tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire est
une seule fois la somme de deux carrés, et une seule fois l’hypoténuse d’un
triangle rectangle.
∃x,y ∈ N : p = x 2 +y 2 voor p priem en oneven ⇔ p ≡ 1 (mod 4)
Veertien jaar later maakte Fermat twee gerelateerde resultaten bekend, voor oneven priemgetallen p:
∃x,y ∈ N : p = x 2 +2y 2 voor p priem, = 2 ⇔ p ≡ 1 (mod 8) ∨ p ≡ 3 (mod 8)
∃x,y ∈ N : p = x 2 +3y 2 voor p priem, = 2 ⇔ p ≡ 1 (mod 3)
Euler voegde er daar nog enkele aan toe als vermoeden:
∃x,y ∈ N : p = x 2 +5y 2 voor p priem, = 2 ⇔ p ≡ 1 (mod 20) ∨ p ≡ 9 (mod 20)
∃x,y ∈ N : 2p = x 2 +5y 2 voor p priem, = 2 ⇔ p ≡ 3 (mod 20) ∨ p ≡ 7 (mod 20)
Zowel Fermats bewering als Eulers vermoeden werden bevestigd door Lagrange.
47 AKS-priemtest
In 2002 losten Manindra Agrawal en zijn studenten Neeraj Kayal en Nitin Saxena aan het Indische Instituut
voor Technologie van Kanpur, een al lang openstaand probleem op: een deterministisch algoritme
dat in redelijke tijd kan bepalen of een getal priem is of niet (zie 286, blz. 195). Hun algoritme, gepubliceerd
in een artikel PRIMES is in P, is het eerst bekende dat voldoet aan de volgende vier eigenschappen
(i.t.t. tot eerdere priemtesten):
• Algemeen: de test kan voor elk getal het al dan niet priem zijn verifiëren. Vele relatief snelle
priemtesten werken alleen voor priemgetallen van een bepaalde vorm, zoals de Lucas-Lehmertest
voor Mersennepriemgetallen (zie 55, blz. 34).
30