Curiosa Mathematica

255. Stelling van Frieze
Proofs from THE BOOK) via dubbele telling. Een bewijs door bijectie werd gegeven door Heinz Prüfer,
via zijn Prüfersequenties.
Zo’n Prüfersequentie is een unieke sequentie van lengte n − 2 horende bij een gelabelde boom met als
toppen {1,2...n}. Zoek telkens het “blad” (top met graad 1) met het kleinste label, knip het af van de
boom en noteer het label van zijn “tak” (buur) als volgende element in de sequentie. Herhaal tot er nog
maar twee toppen overblijven. Beschouw het volgende voorbeeld:
1
3
2
4
5
6
−→ {4,4,4,5}
Het is duidelijk dat elke boom een unieke Prüfersequentie heeft. Omgekeerd correspondeert ook elke
sequentie juist met één boom. De verzameling gelabelde bomen met n toppen is dus bijectief met de
verzameling sequenties met n−2 labels gekozen uit {1,2...n}; omdat de laatste verzameling kardinaliteit
n n−2 heeft, heeft de eerste dat ook.
255 Stelling van Frieze
Alan Frieze ontdekte deze stelling in 1985. Teken de complete graaf Kn (de graaf met n toppen zodat elk
ervan met elke andere top verbonden is) en ken aan elke boog een gewicht toe: een willekeurig gekozen
reëel getal uit het eenheidsinterval (onafhankelijk en uniform verdeeld).
Een opspannende boom is een volledig verbonden deelgraaf die alle toppen behoudt. Het verwachte
gewicht van een opspannende boom is dan n−1
2 , wat naar oneindig gaat voor n → ∞. Het verrassende is
dat de opspannende boom met het minimale gewicht wel degelijk een begrensd gewicht heeft. Meer nog,
zijn verwachte gewicht neigt dan naar ζ(3), de zètafunctie van 3, voor n → ∞!
256 Rigide raamwerken
Beschouw een framework met m rijen en n kolommen, bestaande uit houten latten vastgemaakt met
scharnieren. Het raamwerk kan dus gemakkelijk vervormd worden, maar om dit tegen te gaan worden er
plooibare, maar niet rekbare, kabels op de diagonalen van de cellen gespannen. Hoe kan je nu bepalen of
het framework wel of niet meer vervormbaar is? Het voorbeeld hieronder heeft meer kabels nodig:
←→
Het probleem kan worden opgelost met grafen. Construeer een bipartiete, gerichte graaf met een top
voor elke rij en kolom. De bogen vertrekken van een bepaalde rij naar een bepaalde kolom als en slechts
als de corresponderende cel met een kabel is verstevigd, van linksboven naar rechtsonder. Een kabel in
de andere richting wordt voorgesteld met een boog in de andere richting. Dit geeft voor het voorbeeld:
174