Curiosa Mathematica

117. Reeksformules voor ζ
nulpunten zijn gelokaliseerd in de zogenaamde kritische strook: de verzameling {z ∈ C | 0 < R(z) < 1}.
De niet-triviale nulpunten komen voor in paren: als z een nulpunt is, dan ook zijn geconjugeerde, ¯z.
Het is dus voldoende te kijken naar de bovenste helft van de kritische strook. Bernhard Riemann kon
zelf drie nulpunten berekenen, maar ondertussen zijn er al triljoenen gekend, en al deze waarden voldoen
. Riemann vermoedde
dat deze eigenschap geldt voor elk niet-triviaal nulpunt, wat verregaande gevolgen zou hebben omtrent
bijvoorbeeld de verdeling van de priemgetallen. In deze context wordt de rechte van alle complexe z
zodat R(z) = 1
2 de kritische lijn genoemd, zodat de beruchte Riemannhypothese stelt:
aan een sterke regelmaat: hun reëel gedeelte blijkt steevast gelijk te zijn aan 1
2
Alle niet-triviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritische lijn.
De eerste nulpunten op deze kritische lijn kunnen hier worden afgelezen.
1 R ζ 2 +ix
I ζ 1
2 +ix
in het zwart
in het grijs
Waar beide grafieken een nulpunt hebben, bevindt zich een niet-triviaal nulpunt op de kritische lijn.
De eerste zijn 1 1 1
2 +14.134725i, 2 +21.022040i, 2 +25.010858i,...Riemann construeerde een gerelateerde
functie, ξ, die exact dezelfde nulpunten heeft als ζ, maar die bovendien op het volledige complexe vlak
gedefinieerd is (ook in 1) en waarvoor ξ( 1
2 + ix) enkel reële waarden aanneemt. De laatste eigenschap
maakt het veel eenvoudiger om de nulpunten op de kritische lijn (numeriek) te berekenen.
...
117 Reeksformules voor ζ
118 Omschreven veelhoeken
Begin met een cirkel en construeer een omgeschreven regelmatige driehoek. Construeer daarna de cirkel
rondom deze driehoek en een vierkant omgeschreven aan deze cirkel. Blijf dit herhalen met een regelmatige
vijfhoek, zeshoek, zevenhoek, etc. De straal van deze n-hoeken wordt steeds groter, maar blijkt wel te
convergeren, zoals ook de tekening hieronder suggereert.
69