Curiosa Mathematica

37. Stelling van Euler
dacht te kunnen geven, dat later echter onjuist bleek te zijn. Ondertussen is het vermoeden nog steeds
niet bewezen.
Beschouw de alom bekende rij van priemgetallen.
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103...
Bereken de verschillen tussen de opeenvolgende priemgetallen. Elk van deze termen is dan even, omdat
alle priemgetallen oneven zijn, behalve de allereerste term - deze is gelijk aan 1 (OEIS A001223):
1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,6,4,6,8,4,2,4,2,4,14,4,6,2,10,2,6,6,4...
Daarna berekende Gilbreath opnieuw de verschilrij van deze termen, en bleef hij deze stap herhalen. Wat
hij uiteindelijk opmerkte, en Proth dacht bewezen te hebben, is dat elke verschilrij begint met 1.
1,0,2,2,2,2,2,2,4,4,2,2,2,2,0,4,4,2,2,4,2,2,2,4,2,2,2,2,10,10,2,4,8,8,4,0,2...
1,2,0,0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,4,0,2,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,8,0,8,2,4,0,4,4,2...
1,2,0,0,0,0,2,2,2,2,0,0,2,2,4,2,2,2,0,2,0,2,0,2,0,0,8,8,6,2,4,4,0,2...
1,2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,2,2,2,2,2,2,2,0,8,0,2,4,2,0,4,2...
In 1993 heeft Andrew Odlyzko het vermoeden geverifieerd voor de eerste 10 13 priemgetallen met een
ingenieuze methode om niet alle rijen apart te hoeven uitrekenen; de eerste 635 volstonden.
37 Stelling van Euler
De stelling van Euler vormt een belangrijke getaltheoretische uitbreiding van de kleine stelling van Fermat
(zie 2, blz. 1), bewezen door Euler in 1736. Wanneer a en n onderling ondeelbaar zijn, en ϕ(n) de totiënt
van n voorstelt (zie 11, blz. 5), geldt de volgende modulaire gelijkheid:
a ϕ(n) ≡ 1 (mod n)
Ook het omgekeerde is waar: als bovenstaande gelijkheid geldt, dan zijn a en n relatief priem. Een gevolg
is dat elk oneven getal m verheven tot de vierde macht, op hetzelfde cijfer eindigt als m (dit volgt uit het
feit dat ϕ(10) = 4). Anderzijds kan de stelling gebruikt worden om een modulaire macht te reduceren
(voor a en n copriem):
x ≡ y (mod ϕ(n)) ⇒ a x ≡ a y
(mod n)
De stelling van Euler vormt een van de basisprincipes van het RSA-algoritme (zie 285, blz. 194).
38 Harshadgetallen
Wanneer een natuurlijk getal deelbaar is door de som van de cijfers in een bepaalde basis, noemt men
deze een Harshadgetal. Ze werden door Dattaraya Kaprekar gedefinieerd en vernoemd naar het Sanskriet
hars.a da, vrij vertaald “geluksbrenger”. Ze staan ook bekend als de Nivengetallen (naar Ivan Niven).
De rij Harshadgetallen voor basis 10 begint bij:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72... (OEIS A005349)
Helen Grundman bewees in 1994 dat er geen 21 opeenvolgende Harshadgetallen bestaan in basis 10. Ze
21