Curiosa Mathematica

158. Arbelos
eerst publiceerde, in een prakisch boek omtrent perspectief in 1648.
Twee driehoeken ∆ABC en ∆A ′ B ′ C ′ staan in lijnperspectief (of zijn coaxiaal) als de snijpunten van de
overeenkomstige lijnenparen op eenzelfde rechte liggen, m.a.w. AB∩A ′ B ′ , BC∩B ′ C ′ en AC∩A ′ C ′ zijn
collineair. De driehoeken heten in puntperspectief (of copolair) als de rechten door de overeenkomstige
hoekpunten door eenzelfde punt gaan, m.a.w. AA ′ , BB ′ en CC ′ zijn concurrent.
Volgens Desargues zijn twee driehoeken in lijnperspectief als en slechts als ze ook in puntperspectief zijn:
De stelling is uiteraard het krachtigst in de projectieve meetkunde, omdat in het klassieke Euclidische
vlak er uitzonderingsgevallen optreden wanneer bepaalde zijden van de driehoeken parallel zijn.
158 Arbelos
Deze wonderlijke meetkundige figuur werd besproken in Liber Assumptorum, dat wordt toegeschreven aan
Archimedes van Syracuse, hoewel het auteurschap betwistbaar is. Desalniettemin worden de arbelos en
de eigenschappen van de tweelingcirkels (zie verder) aan Archimedes toegewezen. De benaming “arbelos”
is afkomstig uit het Grieks en betekent schoenmakersmes.
De arbelos wordt begrensd door drie halve, elkaar rakende cirkels, waarvan er twee volledig omsloten
worden door de derde en de raakpunten op een rechte liggen (de basislijn):
Een eerste boeiende eigenschap betreft zijn oppervlakte. Archimedes toonde aan dat deze gelijk is aan
de oppervlakte van de cirkel met als diameter de loodrechte op de basislijn tussen de halfcirkels, begrens
binnen de arbelos. Zijn omtrek is gelijk aan die van de cirkel met de basislijn als diameter.
98