Curiosa Mathematica

146. Tegelpatroon van Penrose
De enige mogelijke reglementaire combinaties van vliegers en pijlen rond een punt zijn de volgende zeven.
De tegels van Penrose kunnen onmogelijk het volledige vlak periodiek bedekken; translaties zullen nooit
een Penrosepatroon op zichzelf afbeelden. Andere symmetrieën zijn echter nog steeds goed mogelijk;
wanneer je probeert de vijfvoudige symmetrie te bewaren, word je gedwongen één van volgende twee
patronen te construeren. Conway noemde ze figuratief de “zon” en de “ster”. Beiden zijn eenduidig
bepaald tot in het oneindige.
Niet alleen bij de verhouding van de zijden van de tegels duikt de gulden snede op: bij een reglementair
aangelegd Penrosepatroon is de verhouding gebruikte vliegers tegenover pijlen ongeveer ϕ. Bij grotere
patronen is de benadering nauwkeuriger, en zelfs exact bij een oneindige betegeling!
Elke eindige regio in een betegeling komt een oneindig aantal keer voor, in eender welke oneindige Penroseconfiguratie.
Een tweede kopie van een regio is ten hoogste twee keer zo ver als de diameter ervan
terug te vinden.
John Conway stelde de vraag of het mogelijk is Penrosepatronen in te kleuren met slechts drie kleuren,
waarbij aangrenzende vliegers of pijlen een verschillende kleur hebben. Dit vermoeden werd bevestigd
door William Paulsen.
88