Curiosa Mathematica

More documents

Recommendations

Info

180 Cycloïde 181 Cardioïde 182 Nefroïde 183 Deltoïde 184 Astroïde 185 Hypocycloïde 186 Epicycloïde 187 Lemniscaat van Bernoulli 188 Strofoïde 189 Cissoïde van Diocles 190 Folium van Descartes 191 Slakkenlijn van Pascal VI Bijzondere krommen 118
VII Fractalen Een fractaal is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd uit delen die (min of meer) gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Daardoor bevatten ze een oneindige hoeveelheid details en steeds herhalende patronen. De belangrijkste genereermethoden voor fractalen zijn IFS (Iterated Function Systems) en Lindenmayersystemen. De meest visuele techniek is basis-en-motief, gemakkelijk om te zetten naar een L-systeem. 192 L-systemen en Turtle Graphics Lindenmayersystemen of L-systemen werden ontwikkeld door theoretisch bioloog en botanicus Aristid Lindenmayer in 1968, als formele fundering voor een axiomatische benadering van biologische evolutie. Een Lindenmayersysteem L wordt formeel gedefinieerd als een tupel L = {V,ω,P}. • Het alfabet V : de verzameling variabelen en constanten. • Het axioma ω: de tekenreeks, bestaande uit symbolen uit V , die de begintoestand van L definieert. • De producties P: de verzameling regels die definieren hoe variabelen worden vervangen door combinaties van V . Voor een symbool A dat wel in V zit maar geen productieregel ondergaat, wordt A → A verondersteld; zo’n symbool heet een constante. Het concept is zeer krachtig indien het gecombineerd wordt met de zogenaamde Turtle Graphics. Die maken gebruik van een tekenreeks, waarin elk symbool voor een welbepaalde grafische handeling staat. Lindenmayers algen Met zijn originele L-systeem beschreef Lindenmayer de groei van algen. B stelt een cel in groeifase voor, die zal groeien tot de reproductietoestand A. Een cel A zal splitsen in twee cellen, één groeitoestand en één reproductietoestand. • V : A,B • ω: A • P: (A → AB), (B → A) De productieregels herhaaldelijk toepassen levert op: A → AB → ABA → ABAAB → ABAABABA → ABAABABAABAAB → ... De som van het aantal variabelen in elke ‘generatie’ levert Fibonaccigetallen op, en de verhouding A B convergeert naar φ. Als we de n de generatie noteren als L(n), dan kun je L(n) als een aaneenschakeling van de vorige twee generaties schrijven: L(n) = L(n−1)·L(n−2). Fractalen Lindenmayersystemen in combinatie met Turtle Graphics kunnen gemakkelijk fractale vormen generenen. Bij de andere fractalen in dit hoofdstuk wordt waar mogelijk een Lindenmayersysteem vermeld; er bestaan ook fractals die geboren zijn uit zo’n systeem. 119
Page 1 and 2:
ℵ Curiosa Mathematica Jens Bossae
Page 3 and 4:
III Rijen 38 70 Rij van Golomb . .
Page 5 and 6:
238 Paradox van Bertrand . . . . .
Page 7 and 8:
1 Priemgetalstelling I Getaltheorie
Page 9 and 10:
5. Stelling van Wilson De formule w
Page 11 and 12:
9 Onaanraakbare getallen 9. Onaanra
Page 13 and 14:
14 Probleem van Prouhet-Tarry-Escot
Page 15 and 16:
Asymptotisch gedraagt |Fn| zich als
Page 17 and 18:
Er bestaan enkele opmerkelijke kett
Page 19 and 20:
25. n-hoeksgetalstelling van Fermat
Page 21 and 22:
29. Egyptische breuken Elk even geh
Page 23 and 24:
• 4 2k • 1 1 1 = + + 2k 2k k 4
Page 25 and 26:
33.5 Vermoeden van Oppermann 34. Ar
Page 27 and 28:
37. Stelling van Euler dacht te kun
Page 29 and 30:
41. 15-stelling Dit toch wel verras
Page 31 and 32:
43 Kwadratische reciprociteit 43. K
Page 33 and 34:
1 1 1 = 7 + 1 1 1 1 1 0 1 1 ✁0 =
Page 35 and 36:
... 2 1 2 1 ... 1 3 1 3 2 × 3 ...
Page 37 and 38:
48. Gemiddelden • Polynomiaal: de
Page 39 and 40:
En voor de laatste ongelijkheid:
Page 41 and 42:
60 Formules van Vieta II Algebra De
Page 43 and 44:
64. Criterium van Cohn Wanneer er e
Page 45 and 46:
73. Rij van Thue-Morse Dit voorschr
Page 47 and 48:
75 Hofstadters R- en S-rij 75. Hofs
Page 49 and 50:
80. Signatuurrijen kaart en leg die
Page 51 and 52:
. 14 9 15 84 Rij van Kolakoski . 6
Page 53 and 54:
88. Fibonaccigetallen 1,5,21,85,341
Page 55 and 56:
90. Constante van Euler (e) Ten slo
Page 57 and 58:
91. Gammafunctie Γ(x) Deze functie
Page 59 and 60:
94. Van Cusa’s π-formule De popc
Page 61 and 62:
97 Power Tower 97. Power Tower De P
Page 63 and 64:
102. Constante van Gelfond 1. Als i
Page 65 and 66:
105 Formule van Wallis 105. Formule
Page 67 and 68:
110. Conways 13-functie Hier is rem
Page 69 and 70:
112. Elliptische krommen nooit verw
Page 71 and 72:
114. Stelling van McMullin ?(x) voo
Page 73 and 74: 116 Riemanns ζ-functie 116. Rieman
Page 75 and 76: 117. Reeksformules voor ζ nulpunte
Page 77 and 78: 119 Lorenzattractor 120 Devil’s s
Page 79 and 80: 125 Boom van Stern-Brocot 126 Stell
Page 81 and 82: 128. Haberdasherpuzzel voorkomen al
Page 83 and 84: 131. Stelling van Jung De formule k
Page 85 and 86: 135. Möbiusband continue en geslot
Page 87 and 88: 138. Probleem van Langley Door herh
Page 89 and 90: 141. Driehoek van Morley waarop dez
Page 91 and 92: 144. Gauss’ zeventienhoek Richman
Page 93 and 94: 146 Tegelpatroon van Penrose 146. T
Page 95 and 96: 147 Punten van Brocard 147. Punten
Page 97 and 98: 149. Stelling van Van Aubel Een amu
Page 99 and 100: 152. Graf van Archimedes werd later
Page 101 and 102: 154. Stelling van Ptolemaeus De fam
Page 103 and 104: 156 Veelvlak van Szilassi 156. Veel
Page 105 and 106: 158. Arbelos De volgende constructi
Page 107 and 108: 158. Arbelos De middellijn van de d
Page 109 and 110: 160. Maantjes van Hippocrates • E
Page 111 and 112: Een rechte hoek, die dan uit te bre
Page 113 and 114: 164 Vermoeden van Toeplitz B ′ C
Page 115 and 116: 166 Stelling van Viviani 166. Stell
Page 117 and 118: 168. Taximeetkunde |x−4|+|y −5|
Page 119 and 120: 170. Vlak van Hilbert Het verhaal g
Page 121 and 122: 174 Onmogelijke constructies met pa
Page 123: 117 179. Kaartprojecties
Page 127 and 128: 193. Driehoek van Sierpiński Er zi
Page 129 and 130: 194. Sneeuwvlok van Koch Bij meerde
Page 131 and 132: 196. Mandelbrotverzameling Ondanks
Page 133 and 134: 198. Blanc-mangerkromme Meetkundig
Page 135 and 136: ⇒ ⊔ → ↓ ← ⊓ ⊔ ⇒
Page 137 and 138: 203 Cesàro’s gescheurd vierkant
Page 139 and 140: 209 Tapijt van Sierpiński 210 Spon
Page 141 and 142: 211. Catalangetallen • Cn is het
Page 143 and 144: Maar er bestaat ook een heel scala
Page 145 and 146: 215. Alternerende en zigzagpermutat
Page 147 and 148: Deze driehoek wordt als volgt opgev
Page 149 and 150: 219 Combinatoriek in logaritmen 219
Page 151 and 152: Met hier de genererende functie. 22
Page 153 and 154: 225. Stellingen van Dilworth en Mir
Page 155 and 156: 228. Tuckers lemma driehoek in drie
Page 157 and 158: 231. Driehoek van Pascal en 13 door
Page 159 and 160: 231. Driehoek van Pascal de driehoe
Page 161 and 162: 232 Ramseytheorie 155 232. Ramseyth
Page 163 and 164: 235 Buffons naald Graaf Georges-Lou
Page 165 and 166: 238. Paradox van Bertrand Het probl
Page 167 and 168: 241. Eindeloos typende apen behoude
Page 169 and 170: 243 Bruggen van Koningsbergen X Gra
Page 171 and 172: 244. Vierkleurenstelling lanceerde
Page 173 and 174: 246. Cykelgrafen van groepen De gra
Page 175 and 176:
249. Stelling van Steinitz De stell
Page 177 and 178:
251 Stelling van Vizing 251. Stelli
Page 179 and 180:
254. Formule van Cayley is dat deze
Page 181 and 182:
R1 R2 R3 R4 K1 K2 K3 K4 K5 K6 257.
Page 183 and 184:
261. Magisch vierkant van Franklin
Page 185 and 186:
265 Geomagische vierkanten 265. Geo
Page 187 and 188:
De notatie a ↑ n b wordt nu algem
Page 189 and 190:
Pythagorasdrietal als elementen, za
Page 191 and 192:
276. Russisch vermenigvuldigen Er w
Page 193 and 194:
279. Eulers 36 officieren Hier zal
Page 195 and 196:
de twee zo het grootste aantal stem
Page 197 and 198:
281. Baguenaudier Arrow bewees echt
Page 199 and 200:
284. Bord van Galton • Gegeven ee
Page 201 and 202:
286. P vs. NP De publieke sleutel,
Page 203 and 204:
De volgende programma’s producere
Page 205 and 206:
289. Sierpiński-Mazurkiewicz Hoe k
Page 207 and 208:
290. Knopen ervan duidelijk. In 198
Page 209 and 210:
290. Knopen Het is duidelijk dat de
Page 211 and 212:
+1 −1 290. Knopen Ook de verdraai
Page 213 and 214:
• S4 = {−4 < ... < − 1 8 •
Page 215 and 216:
Probleem 2: consistentie van de rek
Page 217 and 218:
300 Elementaire cellulaire automate
Page 219 and 220:
300. Elementaire cellulaire automat
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
302. Game of Life kunnen zijn en ac
Page 229 and 230:
Fishhook Fishhook (tail) Eater2 TWI
Page 231 and 232:
302. Game of Life Lokale injectivit
Page 233 and 234:
303. Wormen van Paterson De wereld
Page 235 and 236:
304. Critters In totaal zijn er 129
Page 237 and 238:
Wires kunnen ook makkelijk gesplits
Page 239 and 240:
307 MU-puzzel XIV Logica en verzame
Page 241 and 242:
312. Turingmachines Merk ten slotte
Page 243 and 244:
316 Hotel van Hilbert 316. Hotel va
Page 245 and 246:
317.1 Stelling van Goodstein 317. O
Page 247 and 248:
320 Behangpatroongroepen 320. Behan
Page 249 and 250:
321. Strookpatroongroepen Bevat ref
Page 251 and 252:
323. Rubik’s Cube elkaar geörien
Page 253 and 254:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Page 255 and 256:
328. Groepenwet op elliptische krom
Page 257 and 258:
330. Kaarten schudden De volgende s
Page 259 and 260:
334 Sprouts XVI Wiskundige spellen
Page 261 and 262:
338. Phutball door de tegenstander
Page 263 and 264:
342 Lineair schaken 342. Lineair sc
Page 265 and 266:
346. Q-bits Het is mogelijk dat het
Page 267 and 268:
• Hoewel hij niet altijd zijn geb
Page 269 and 270:
Boeken Bibliografie • AIGNER, M.,
Page 271 and 272:
• http://www.cim.mcgill.ca/ pdimi
Page 273 and 274:
How Euler did it, december 2008 (ht
Page 275 and 276:
ǫ0 ...............................
Page 277 and 278:
kleine stelling. ..................
Page 279 and 280:
Sint-Petersburg ...................
show all

Curiosa Mathematica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?