Curiosa Mathematica

290. Knopen
Links herkennen we een onknoop, rechts staat de eenvoudigste niet-triviale schakel genaamd de Hopfschakel
(naar Heinz Hopf). Deze rekenen we verder uit:
∇ = ∇ +t·∇
In de rechterterm zien we weer de triviale knoop opduiken, maar bij de linkerterm (de triviale link met
twee componenten) schuilt er nog een addertje onder het gras. Er geldt immers:
∇ = ∇ +t·∇
De eerste twee polynomen in deze gelijkheid zijn die voor de triviale knoop, waaruit we kunnen concluderen
dat die voor de triviale 2-link gelijk moet zijn aan nul. Terugwerkend naar de klaverbladknoop
vinden we dus:
∇ = 1+t·(0+t·1) = 1+t 2
Ondanks het feit dat linker- en rechtervariant van de klaverbladknoop verschillend zijn, blijken hun
Alexander-Conwaypolynomen exact gelijk te zijn. Er bestaan zelfs niet-triviale knopen die dezelfde
polynoom opleveren als de onknoop, zoals die hieronder. De Alexander-Conwaypolynoom is dus wel
praktisch, maar kent zijn beperkingen.
290.6 Jonesveelterm
De Jonesveelterm werd ontdekt in 1984 door Vaughan Jones en kent vele interessante toepassingen. Zo is
ze bijvoorbeeld oriëntatieonafhankelijk, kan ze sterk veralgemeend worden en blijkt ze beter om knopen te
identificeren dan de Alexanderveelterm. De eenvoudigste manier om de polynoom van Jones te definiëren
maakt gebruik van een gerelateerde invariant, Kauffmans bracketpolynoom. Ook hier wordt er een skein
relation gebruikt:
= 1,
K ⊔
= −(A −2 +A 2 )〈K〉,
= A +A
−1
Met K ⊔ wordt een diagram bedoeld bestaande uit het diagram van een knoop K samen met een
onknoop, die geen kruisingen bevat (noch met zichzelf noch met K). De rechtse relatie is analoog te
interpreteren als bij de Alexanderpolynoom.
Zoals eenvoudig te controleren is, blijft de bracketpolynoom ongewijzigd na Reidemeisterbewegingen van
het tweede of derde type, maar niet van het eerste type. Een dergelijke Reidemeisterbeweging verandert
de bracketveelterm als volgt:
= −A
3
,
= −A
−3
Mits een kleine aanpassing kan de Kauffmanpolynoom onafhankelijk van alle Reidemeisterbewegingen
vastgelegd worden. Voorzie daartoe de knoop K van een oriëntatie en definieer zijn verdraaiing ∗ w(K)
als het aantal positieve kruisingen min het aantal negatieve. Dit is de conventie:
∗ Engels: writhe
204