Curiosa Mathematica

127 Dissectie van Duijvestijn
V Geometrie
Een beroemde wiskundige puzzel is de “kwadratuur van het vierkant”: betegel een vierkant met zijden
van gehele lengte, in kleinere vierkanten met gehele zijden. Dit probleem is zeer eenvoudig totdat er
extra voorwaarden worden opgelegd. Probeer namelijk eens zo’n vierkant onder te verdelen in kleinere
vierkanten met allemaal verschillende afmetingen (zo’n dissectie wordt een perfect vierkant genoemd).
Hoewel Russisch wiskundige Nikolai Lusin vermoedde dat perfecte vierkanten niet bestaa, werd het eerste
perfecte vierkant in 1939 gepubliceerd door Roland Sprague, onderverdeeld in 55 kleinere. Het kleinst
mogelijke perfecte vierkant werd geconstrueerd door Adrianus Duijvestijn, m.b.v. een computer, in 1978.
Zijn betegeling telt 21 vierkanten en er werd bewezen dat dit het minimum is.
29
33
50
4
25
37
35
8
15 11
17
2 6
9 7
18
16
Er bestaat een simpele notatie (soms de Bouwkampcode genoemd) ter beschrijving van perfecte vierkanten.
Tussen vierkante haakjes worden de groepen aaneensluitende vierkanten genoteerd, rij per rij,
van linksboven naar rechtsonder (het hoogste vierkant heeft voorrang op het meest linkse). Duijvestijns
dissectie bijvoorbeeld wordt dan genoteerd als:
[50,35,27],[8,19],[15,17,11],[6,24],[29,25,9,2],[7,18],[16],[42],[4,37],[33]
Hoewel Duijvestijns vierkant de laagste orde heeft (21), zijn er ook drie perfecte vierkanten gevonden met
de minimale lengte, 110. In Bouwkampcode:
• [60,50],[23,27],[24,22,14],[7,16],[8,6],[12,15],[13],[2,28],[26],[4,21,3],[18],[17] (orde 22)
• [60,50],[27,23],[24,22,14],[4,19],[8,6],[3,12,16],[9],[2,28],[26],[21],[1,18],[17] (orde 22)
• [44,29,37],[21,8],[13,32],[28,16],[15,19],[12,4],[3,1],[2,14],[5],[10,41],[38,7],[31] (orde 23)
Ook enkele uitbreidingen van het probleem werden bestudeerd. In 1975 stelde Solom Golomb de vraag
of het volledige vlak kan worden betegeld met vierkanten, waarbij alle natuurlijke getallen juist één keer
74
42
27
19
24