Curiosa Mathematica

170. Vlak van Hilbert
Het verhaal gaat dat toen ingenieur John Edson Sweet deze stelling voor het eerst zag, hij ze “perfect
vanzelfsprekend” vond. Zijn argument was tevens de manier waarop Monge zijn resultaat bewees, hoewel
het ook klassieker kan met behulp van de stelling van Desargues (zie 157, blz. 97) of Menelaos (zie 175,
blz. 115). Sweet stelde de cirkels voor als bollen die op een oppervlak liggen, en hun raaklijnen als kegels
errond gewikkeld. De toppen van de kegels liggen dan vanzelfsprekend in het vlak. Leg vervolgens een
tweede vlak op de drie bollen; dit vlak moet dan noodzakelijkerwijs de bollen raken en zal dus eveneens
de drie toppen van de kegels bevatten. Bijgevolg liggen deze drie punten in de snijlijn van beide vlakken,
waarmee hun collineariteit bewezen is.
Monge publiceerde zijn resultaat in 1798 in zijn Géométrie descriptive.
170 Vlak van Hilbert
David Hilbert publiceerde in 1899 de Grundlagen der Geometrie een geheel nieuw axiomatisch systeem
voor de Euclidische meetkunde. Hij gaf oorspronkelijk een stelsel van 21 axioma’s, waarvan er één overtollig
bleek en de overige 20 standhielden. Hilberts modernere benadering voor meetkunde nam bijvoorbeeld
in tegenstelling tot Euclides het concept congruentie op in de axioma’s.
Naast eenvoud, volledigheid ∗ en consistentie spendeerde Hilbert ook veel aandacht aan de onafhankelijkheid
van de axioma’s. Om aan te tonen dat bepaalde clusters axioma’s onafhankelijk zijn, construeerde
hij expliciet modellen die aan alle axioma’s voldoen, behalve één. Een mooi model diende ter illustratie
dat de stelling van Desargues niet af te leiden is zonder hulp van de vooropgestelde congruentieaxioma’s.
Hilberts model vertrekt vanuit het Euclidische vlak R2 . Teken in dit vlak de ellips met als vergelijking
x2 + 4y2 = 1 en het punt op ( 3
2 ,0). Punten ondergaan geen transformatie, rechten buiten de ellips
evenmin, maar rechten die de ellips snijden wel: construeer de cirkel door ( 3
2 ,0) en de twee snijpunten
tussen de rechte en de ellips, en definieer de vervormde rechte in het vlak van Hilbert als de unie van de
twee halfrechten buiten de ellips met de cirkelboog binnen de ellips. In feite kun je de ellips beschouwen
als een lens op R2 .
∗ Volledigheid in de zin dat alle tot dan toe bekende meetkunde uit deze axioma’s af te leiden diende te zijn. Gödels
onvolledigheidsstellingen (zie 309, blz. 234) vernietigden Hilberts droom dat alle meetkunde tot zijn systeem te herleiden
zou zijn.
113