Curiosa Mathematica

5. Stelling van Wilson
De formule was eerst ontdekt door Abraham de Moivre, in de vorm n! ∼ c·n n+1/2 ·e−n , waarbij c een
nog nader te bepalen constante was. De bijdrage van Schots wiskundige James Stirling bestond erin de
waarde van c vast te stellen; hij ontdekte dat c = √ 2π, waardoor de uiteindelijke formule wordt:
n! ∼ √
n
n 2πn·
e
Sterker nog, met big-O-notation:
n! = √
n
n 1
2πn· · 1+O
e n
In applicaties wordt echter standaard deze asymptotisch gelijkwaardige formule gebruikt.
ln(n!) ∼ nlnn+n
De Moivre publiceerde zijn formule in 1730 in zijn werk Miscellanea Analytica en gebruikte de afschatting
in 1733 om aan te tonen dat een binomiaalverdeling een normaalverdeling benadert. Nadat Stirling de
constante bepaalde, kende de Moivre in zijn tweede editie in 1738 de verbeterde formule toe aan Stirling.
5 Stelling van Wilson
Al rond het jaar 1000 kende Perzisch astronoom en wiskundige Ibn al-Haytham (ook bekend als Alhazen)
als eerste deze stelling. Ruim 700 jaar later werd hij herontdekt door John Wilson, student van wiskundige
Edward Waring, die in 1770 de stelling bekendmaakte. Wilson noch Waring konden hem bewijzen; het
was Lagrange die in 1773 het eerste bewijs gaf. Ook Leibniz zou dezelfde stelling een eeuw eerder al
gekend hebben, maar hij heeft hem nooit gepubliceerd.
p is priem ⇔ (p−1)! ≡ −1 (mod p)
Merk op dat de stelling in twee richtingen geldt; de omgekeerde implicatie geldt ook. Wilsons stelling
geeft dus feitelijk een sluitend criterium voor het al dan niet priem zijn van een getal n, ware het niet
dat de faculteitsfunctie uitrekenen voor grote waarden computationeel gezien onhaalbaar is.
6 Inversieformule van Möbius
August Ferdinand Möbius introduceerde in 1832 zijn Möbiusfunctie µ(n), een aritmetische functie die
vaak terugkeert in getaltheorie en combinatoriek, en waarmee Möbius tevens een merkwaardige formule
presenteerde.
⎧
⎪⎨
0 als n niet kwadraatvrij is
µ(n) = 1 als n kwadraatvrij is en een even aantal verschillende priemfactoren heeft
⎪⎩
−1 als n kwadraatvrij is en een oneven aantal verschillende priemfactoren heeft
De Möbiusfunctie is multiplicatief, wat inhoudt dat µ(a·b) = µ(a)·µ(b), als a en b relatief priem zijn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
µ(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 0 -1 0 1
µ(0) wordt ongedefinieerd gelaten. De functiewaarden staan in OEIS A008683.
Met behulp vanµ(n) verkondigde Möbius deze inversieformules. Voor een aritmetische functiegverkregen
uit f als in het linkerlid, kan f als volgt omgekeerd verkregen worden uit g:
g(n) =
f(d) ⇔ f(n) =
n
µ(d)·g
d
d|n
3
d|n