Curiosa Mathematica

149. Stelling van Van Aubel
Een amusante opmerking is dat ondanks de schijnbare evidentie, de cirkels van Malfatti niet altijd de
meest rendabele oppervlakte geven. In 1930 illustreerden Hyman Lob en Herbert Richmond dat voor een
lange smalle driehoek, Malfatti’s oplossing duidelijk niet de beste is. De gevraagde oppervlakte kan zo
goed als verdubbeld worden door een greedy algoritme, dat eerst de cirkel met maximale straal binnen
de driehoek beschouwt, dan de tweede cirkel met maximale straal in de drie overblijvende stukjes, en
daarna ook de laatste driehoek zo groot mogelijk.
Voor een gelijkzijdige driehoek geeft de procedure van Lob-Richmond minder winst, maar desalniettemin
is de aldus bekomen oppervlakte een kleine 1% groter. Michael Goldberg toonde in 1967 zelfs aan dat
Malfatticirkels nooit de grootst mogelijke oppervlakte opleveren!
Hans Melissen vermoedde in 1997 dat voor elke n, het algoritme van Lob-Richmond de maximale oppervlakte
voor n cirkels oplevert, wat nog maar voor n ≤ 3 geverifieerd werd.
149 Stelling van Van Aubel
Deze aardige stelling werd gepubliceerd door Belgisch wiskundige Henricus Hubertus van Aubel in 1878.
Teken op een willekeurige gegeven vierhoek, vierkanten op de zijden naar de buitenkant toe. Deze vierhoek
hoeft niet per se convex te zijn, zelfs voor complexe vierhoeken (die zichzelf snijden) geldt de stelling,
mits de vierkanten in de juiste richting geconstrueerd worden. Van Aubel kon dan betogen dat de rechten
die de middelpunten van tegenoverstaande vierkanten verbinden, loodrecht op elkaar staan.
Zoals daarnet opgemerkt geldt de stelling eveneens voor zichzelf snijdende vierhoeken.
91