Curiosa Mathematica

239. Sint-Petersburgparadox
239 Sint-Petersburgparadox
De paradox van Sint-Petersburg is een klassieke illustratie in de kansrekening voor een naïef beslissingscriterium,
dat alleen de verwachte waarde van een kansspel beschouwt. Dit criterium zou een uitkomst geven
die geen enkel rationeel persoon zou volgen. De paradox werd voor het eerst beschreven in 1713 door
Nikolaus I Bernoulli in een briefwisseling met Pierre Raymond de Montmort, maar werd bekend gemaakt
door Daniel Bernoulli en 25 jaar later gepubliceerd door de Keizerlijke Academie der Wetenschappen te
Sint-Petersburg. Beschouw het volgende kansspel:
Begin met 1 in de pot en gooi een (eerlijke) munt op. Bij de uitkomst “kop”
wordt de inhoud van de pot verdubbeld en mag je opnieuw gooien, bij de
uitkomst “munt” win je de pot.
De kans P(X = xk) dat voor het eerst “munt” gegooid wordt na k worpen, is gelijk aan 1
2 k . De winst xk
bij deze situatie is dan 2 k−1 . De verwachtingswaarde E(X) wordt dus als volgt berekend:
E(X) =
∞
xk ·P(X = xk) =
k=1
∞
k=1
1
2 k ·2k−1 =
∞
k=1
1
= ∞
2
Omdat de gemiddelde winst oneindig groot is, zul je op termijn steeds winst maken - ongeacht hoeveel
geld je dient in te leggen! In praktijk echter zou niemand geneigd zijn meer dan een paar euro in te zetten
voor dit spel.
240 Wet van Benford
Simon Newcomb was de eerste die een curieus verschijnsel in de statistiek opmerkte. Hij observeerde
in 1881 dat in de logaritmetabellen, toen intensief gebruikt voor berekeningen, de eerste pagina’s meer
versleten waren dan die verderop in het boek. Newcomb ging na of getallen die beginnen met een lager
cijfer, statistisch vaker zouden voorkomen dan getallen met een hoger cijfer, zoals zijn observatie van de
tabellen deed vermoeden.
Newcomb onderzocht verschillende gegevensverzamelingen uit het dagelijks leven en ontdekte inderdaad
dat het cijfer 1 een veel hogere frequentie heeft als begincijfer dan alle andere, zo’n 30%. De andere cijfers
kwamen steeds minder vaak voor als begincijfer.
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Uit deze gegevens kon Newcomb een wet opstellen die de frequentie van de begincijfers vastlegt. Helaas
voor hem herontdekte Frank Benford in 1938 hetzelfde fenomeen en publiceerde hij een artikel met een
analyse van 20 gegevensbronnen, te vinden op o.a. http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html,
met dezelfde formule. Hun resultaat staat vandaag bekend als de wet van Benford:
P(n als eerste cijfer) = log 1+ 1
n
Waarom de wet van Benford juist zo vaak geldig is, bleef lange tijd nogal onduidelijk. Wel wist men dat
de gegevens niet volledig random mogen zijn, maar toch een voldoende groot bereik en variatie moeten
160