Curiosa Mathematica

288. Tangles van Conway
De tangles met twee lussen die te “ontwarren” zijn door hun eindpunten over de bol te verschuiven, heten
rational tangles, omdat ze een prachtig verband met de aritmetica behelzen. Conway stelde de rational
tangles voor als vier dansers, die elk een einde van een touw vasthouden en twee bewegingen kunnen
uitvoeren: een twist’em up en een turn’em roun’.
Met elke rational tangle associeerde Conway een rationaal getal als waarde. Bij de eerste geldige actie,
de twist’em up, worden de twee rechtse uiteinden over elkaar één slag om elkaar gewenteld, de onderste
gaat onder de bovenste. Deze actie komt overeen met één optellen bij zijn waarde, t → t+1.
t t t
De tweede actie, turn’em roun’, betekent niks meer dan gewoon de hele tangle één positie kloksgewijs
roteren. De waarde van de tangle wordt omgekeerd en tegengesteld, t → −1
t .
t t t
Om te kunnen starten, wordt aan deze tangle de waarde 0 toegekend:
We korten vanaf hier een twist’em up af als T, een turn’em roun’ als R en samenstelling van dezelfde
acties met een exponent. Vertrekkende vanaf 0 kan de volgende tangle verkregen worden door de acties
T 4 ·R·T 2 ·R·T 2 ·R·T, waardoor deze tangle de waarde 3
10 verkrijgt.
0 T
−→ 1 T
−→ 2 T
−→ 3 T
−→ 4 R
−→ −1
4
T
−→ 3
4
T
−→ 7
4
R
−→ −4
7
T
−→ 3
7
T
−→ 10
7
R
−→ −7
10
T
−→ 3
10
Merk op dat de twee bewegingen maar in één richting geldig zijn en er dus niet zomaar teruggekeerd kan
worden! Een legitieme mogelijkheid om opnieuw 0 te bekomen, is bijvoorbeeld R·T 4 ·R·T 2 ·R·T 2 .
3
10
R
−→ −10
3
T
−→ −7
3
T
−→ −4
3
T
−→ −1
3
T
−→ 2
3
R
−→ −3
2
198
T
−→ −1
2
T
−→ 1
2
R
−→ −2 T
−→ −1 T
−→ 0