Curiosa Mathematica

25. n-hoeksgetalstelling van Fermat
Verwant hiermee is de volgende som T(n), waarvoor een tijdlang een analoog vermoeden gold.
T(n) =
n
k=1
Helaas toonde Haselgrove aan dat T(n) oneindig vaak van teken verandert; zoals Pál Turán aantoonde,
zou een positief bewijs van dit vermoeden tot een bewijs voor de Riemannhypothese (zie 116, blz. 67)
geleid hebben. Het is overigens nog onduidelijk of ook L(n) oneindig vaak van teken zou veranderen.
25 n-hoeksgetalstelling van Fermat
Zoals Pierre de Fermat wel vaker deed, stelde hij in 1638 dit resultaat zonder bewijs, maar met de
belofte dat hij die zou uitschrijven in een apart werk dat echter nooit verscheen. Volgens deze stelling
kan elk natuurlijk getal geschreven worden als de som van maximaal n niet noodzakelijk verschillende
n-hoeksgetallen.
De driehoeksgetallen 0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153... (OEIS A000217)
De vierhoeksgetallen 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256... (OEIS A000290)
De vijfhoeksgetallen 0,1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176,210,247,287,330,376... (OEIS A000326)
Joseph Louis Lagrange bewees de stelling voor het geval n = 4, dus dat elk getal de som is van maximaal
vier volkomen kwadraten. Carl Friedrich Gauss bewees in 1796 het geval n = 3, publiceerde dit resultaat
in zijn Disquisitiones Arithmeticae en noteerde in zijn dagboek de regel “EYPHKA! num = △+△+△”.
Sindsdien staat dit geval ook bekend als de Eurekastelling.
λ(k)
k
?
≥ 0
Pas in 1813 gaf Augustin-Louis Cauchy een volledig bewijs voor alle n-hoeksgetallen.
26 Perfecte getallen
Nogal wat antieke culturen begiftigden bepaalde getallen met religieuze of magische eigenschappen. Een
bekend voorbeeld daarvan zijn de zogenaamde perfecte getallen, die in het bijzonder werden bestudeerd
door de Grieken, waaronder Euclides.
Perfecte getallen zijn de natuurlijke getallen n die gelijk zijn aan de som van hun echte delers (n zelf dus
13