Curiosa Mathematica

274. 18-puntenprobleem
Zoals te zien aan de voorbeelden worden deze uitdrukkingen algauw vrij complex. Een hele lijst tot nog
toe bekende oplossingen staat op http://magicdragon.com/EmeraldCity/Nonfiction/four9s.html.
Hoewel, Terry Moore vond een uitdrukking met vier 9’s die elk willekeurig natuurlijk getal als uitkomst
kan hebben. Met zijn formule gaf hij dus een algemene oplossing voor de vier-9’s-puzzel, voor gans N.
Er wordt nog steeds gezocht naar andere oplossingen, alleen is de lol er nu een beetje vanaf...
⎛
n wortels
⎜
⎜
0,9+0,9
log⎜
...
⎜
⎝
√ ⎞
⎟
9 ⎟
log(9) ⎟ = n
⎟
⎠
Merk op dat 0,9 hier gebruikt wordt om 1 aan te geven, weliswaar uitgedrukt door middel van één 9.
Vul in de bovenstaande uitdrukking het juiste aantal worteltekens in en elk willekeurig natuurlijk getal
is uitgedrukt volgens de spelregels, door vier 9’s. De logaritmes kunnen eenvoudig worden uitgewerkt ter
bewijs.
Een analoge puzzel vraagt naar getallen uitgedrukt door middel van juist één 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
en 9. Sommigen gaan nog een stapje verder en eisen dat de getallen in opklimmende volgorde moeten
voorkomen. Ook voor deze puzzel werd een algemene oplossing gevonden, door Verner Hoggatt.
⎛
n wortels
⎜
0+1+2+3+4 ⎜
5 log⎜
...
⎜
⎝
√ ⎞
⎟
−6+7+8 ⎟
log(9) ⎟ = n
⎟
⎠
274 18-puntenprobleem
Martin Gardner noemde dit probleem in zijn column in de Scientific American. Het doel is om 18 punten
te verdelen op een lijnstuk, volgens deze eenvoudige regels:
• Plaats een punt op het lijnstuk.
• Plaats een tweede punt op het lijnstuk, zodat de twee punten elk op een verschillende helft liggen.
• Plaats een derde punt erbij, zodat de drie punten elk op een verschillend derde deel liggen.
• Plaats een vierde punt erbij, zodat de vier punten elk op een verschillend kwart liggen.
• Plaats een vijfde punt erbij, zodat de vijf punten elk op een verschillend vijfde deel liggen.
• ...
Het is duidelijk dat de punten niet lukraak mogen gekozen worden, anders loopt het spel snel vast.
Opmerkelijk genoeg, hoe zorgvuldig de punten ook geplaatst worden, is het onmogelijk verder te geraken
dan 17 punten - juist het 18 de punt zal altijd de spelregels schenden.
275 Conways Soldaten
Ook dit spel werd geanalyseerd door John Conway, in 1961. Als variant op het klassieke éénpersoonsspel
Solitaire, krijg je beschikking over een oneindig groot speelbord, verdeeld door een horizontale lijn, en een
willekeurige voorraad speelstukken (de “soldaten”) in een willekeurige configuratie. Door de standaard
Solitairezet - één soldaat springt over een andere die horizontaal of verticaal aangrenst en na de sprong
verwijderd wordt - is het de bedoeling zo ver mogelijk over de horizontale lijn te geraken.
184