Curiosa Mathematica

73. Rij van Thue-Morse
Dit voorschrift werd door Edgar Dijkstra aangeduid als de fusc-functie, fusc(n). Ze heeft enkele interessante
eigenschappen; zo is fusc(n +1) het aantal manieren om n te schrijven als een som van machten
van 2, waarbij elke macht maximaal twee keer voorkomt (bijv. 6 = 4+2 = 4+1+1 = 2+2+1+1).
Elke twee opeenvolgende elementen zijn relatief priem. Dijkstra bewees ook de volgende eigenschap:
80
60
40
20
2 | fusc(n) ⇔ 3 | n
200 400 600 800 1000
Er bestaan andere formules om Sterns diatomische reeks te genereren. Zo geldt:
n−1
k
fusc(n) =
n−k−1
k=0
(mod 2)
We kunnen deze veelterm genereren die de diatomische reeks als coëfficiëntenrij heeft:
∞
fusc(n)·x n ∞
= x·
n=0
73 Rij van Thue-Morse
n=0
1+x 2n
+x 2n+1
= x+x 2 +2x 3 +x 4 +3x 5 +...
De binaire rij van Thue-Morse werd eerst bestudeerd als een toepassing in getaltheorie door Eugène
Prouhet, in 1851. Hij vermeldde deze rij echter niet expliciet; dat deed Axel Thue pas in 1906, toen hij
van nut bleek in woordcombinatoriek. Dankzij Marston Morse is de rij wereldwijd beroemd geworden in
1921 (Morse ontdekte een toepassing in de differentiaalmeetkunde).
Sindsdien is de rij van Thue-Morse vele keren opnieuw ontdekt. Schaakmeester Max Euwe bijvoorbeeld,
gebruikte de kubiekvrije eigenschap (zie verder) in een bewijs dat er schaakpartijen mogelijk zijn die
oneindig lang duren, maar toch geen drie identieke zetten bevatten (en zo tot remise zouden leiden).
De rij ziet er als volgt uit:
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110100101100... (OEIS A010060)
Er zijn vele constructies mogelijk, en de meeste zijn erg eenvoudig. De simpelste is beginnen met 1, daarna
telkens op de volledige rij een “bitsgewijze negatie” toe te passen (verander elke 1 in 0 en elke 0 in 1), en
deze nieuwe reeks aan de vorige aaneen te schakelen.
1 ↦→ 1·0 ↦→ 10·01 ↦→ 1001·0110 ↦→ 10010110·01101001 ↦→ ...
39