Curiosa Mathematica

115. Algoritme van Gauss-Legendre
Tijdens verder onderzoek kwam McMullin op het idee om een gefactoriseerde tweedegraadsvergelijking
(van de buigpunten) tweemaal te integreren in plaats van de originele vierdegraadsvergelijking tweemaal
af te leiden. Zodoende ontdekte hij het volgende, nog mysterieuzere feit. Veronderstel dat de rechte door
de twee buigpunten A en B, de vierdegraadsfunctie nog snijdt in de punten P en Q; de x-coördinaten
van P, A, B en Q heten respectievelijk p < a < b < q. Dan geldt:
p = ϕ·a−(ϕ−1)·b en q = ϕ·b−(ϕ−1)·a
Hieruit volgt dat b−a in de gulden verhouding staat tot a−p en q −b.
P
A
Mits de vergelijking van de rechte op een geschikte manier wordt aangepast, blijft de stelling geldig voor
samenvallende of zelfs complexe buigpunten; de gulden snede lijkt onvoorwaardelijk verbonden te zijn
met vierdegraadspolynomen.
115 Algoritme van Gauss-Legendre
Het algoritme van Gauss-Legendre is een iteratiemethode om zeer snel de cijfers van π te bepalen. Doordat
het aantal correcte decimalen per stap verdubbelt, zijn slechts 25 iteraties voldoende voor maar liefst
45 miljoen decimalen! Een nadeel is dat deze methode geheugenintensief is. Toch werden via dit algoritme
van 18 tot 20 september in 1999 de eerste 206.158.430.000 correcte decimalen berekend.
Deze versie is gebaseerd op individueel werk van Carl Friedrich Gauss en Adrien-Marie Legendre, maar
wordt gecombineerd met moderne algoritmes voor vermenigvuldiging en worteltrekking. Zoals hier gepresenteerd
staat ze ook gekend als het algoritme van Brent-Salamin, uitgewerkt in 1975 door Richard
Brent en Eugene Salamin. De beginwaarden worden als volgt ingesteld:
a0 = 1, b0 = 1
√ 2 , t0 = 1
4 , p0 = 1
De rest van het algoritme herhaalt de volgende stappen:
• an+1 = an +bn
2
• bn+1 = √ an ·bn
• tn+1 = tn −pn ·(an −an−1) 2
• pn+1 = 2pn
Merk het rekenkundig gemiddelde op bij de berekening van an+1 en het meetkundig gemiddelde bij bn+1.
De waarde van π wordt dan vlot benaderd met de volgende limiet:
B
(an +bn)
π = lim
n→∞
2
4tn
66
Q