Curiosa Mathematica

212. Subfaculteiten
De driehoek van Catalan, die de Catalangetallen genereert, is een soortgelijke constructie als de driehoek
van Pascal.
• Begin met een rij met 1 als enige element.
• Begin een nieuwe rij met 1 als eerste element.
• Elk element is de som van het getal links en het getal erboven; reken ontbrekende getallen als 0.
• Herhaal stap 2 en 3 voor het vormen van nieuwe rijen (telkens één element meer dan de vorige).
• Het Catalangetal Cn komt tevoorschijn als het laatste element van rij n, of als de som van rij n−1.
Deze functie brengt de Catalangetallen voort:
1
1 1
1 2 2
1 3 5 5
1 4 9 14 14
1 5 14 28 42 42
.
∞
n=0
.
.
.
Cn ·x n =
.
.
. ..
2
1+ √ 1−4x
Tot slot geldt nog deze eigenschap, ongeacht de waarde van n:
C0
C1
C2
.
C1
C2
C3
.
C2
C3
C4
.
··· Cn
···
Cn+1
··· Cn+2
=
. ..
. .
.
212 Subfaculteiten
Cn Cn+1 Cn+2 ··· C2n
C1 C2 C3 ··· Cn+1
C2 C3 C4 ··· Cn+2
C3 C4 C5 ··· Cn+3
.
. ..
Cn+1 Cn+2 Cn+3 ··· C2n+2
.
= 1
Een derangement is een permutatie van de elementen van een verzameling, zodanig dat geen enkel element
terug op z’n oorspronkelijke positie optreedt.
{1,2,3,4} ↦−→
{2,1,4,3}, {2,3,4,1}, {2,4,1,3}, {3,1,4,2}, {3,4,1,2}
{3,4,2,1}, {4,1,2,3}, {4,3,1,2}, {4,3,2,1}
Het aantal mogelijke derangementen van n verschillende elementen wordt voorgesteld door !n (niet te
verwarren met de faculteit n!). De !n-waarden worden de subfaculteiten of de de Montmortgetallen,
vernoemd naar Pierre Raymond de Montmort, die in 1708 als eerste het probleem beschouwde en het in
1713 ook oploste. Gelijktijdig hield Nicholas Bernoulli zich met de subfaculteiten bezig.
1,0,1,2,9,44,265,1854,14833,133496,1334961,14684570,176214841,2290792932,... (OEIS A000166)
Voor de subfaculteiten !n zijn verscheidene formules gekend. Deze recursieve formule werkt ook voor de
gewone faculteitn n! (merk het verschil tussen !1 en 1! op):
!0 = 1, !1 = 0, !n = (n−1)·(!(n−1)+!(n−2))
0! = 1, 1! = 1, n! = (n−1)·((n−1)!+(n−2)!)
136